Введение

Для принятия решений, когда исходная информация имеет качественный характер, отсутствуют измерительные шкалы и формальные модели рассматриваемой системы, во многих областях человеческой деятельности привлекаются эксперты. В научно-технической сфере они связаны с выбором направлений приоритетного научно-технического развития, распределения ресурсов, управления сложными системами, задачами оценки конкурсных работ на выделение грантов, субсидий, соискание премий и др. В целях поддержки экспертного оценивания научно-технической деятельности могут быть применены соответствующие математические и вычислительные методы и модели формализации задач экспертизы. Среди различных методов формализации экспертных оценок приобрел популярность метод аналитической иерархии, разработанный Т. Саати.

Специфика метода аналитической иерархии

Метод основан на представлении систем в виде иерархий, что позволяет решить вопрос о том, насколько сильно влияют элементы нижнего уровня иерархии на вершину, выражающую цель экспертизы. Определение приоритетов элементов низшего уровня относительно цели может быть сведено к последовательности задач определения приоритетов элементов каждого уровня по отношению к более высокому. Математически оценка воздействия элементов одного уровня иерархии на соседний верхний уровень выполняется посредством композиции соответствующих вкладов элементов нижнего уровня по отношению к элементу верхнего уровня. Эта процедура распространяется вверх по иерархии.

Инструментом экспертного оценивания являются матрицы парного сравнения. Роль эксперта состоит в заполнении матрицы путем ответов на вопросы с использованием выбранной числовой шкалы, насколько один из элементов сравниваемой пары более наделен определенным свойством и насколько сильно доминирование. Матрица парных сравнений между элементами строится в предположении, что ее диагональные элементы должны быть равны 1, а симметричные относительно главной диагонали элементы должны быть взаимно обратными. Значимость элементов матрицы по отношению к элементу вышестоящего уровня в формализованном виде выражают координаты нормализованного собственного вектора этой матрицы. В теоретическом отношении метод основывается на свойствах положительных квадратных матриц. Из теории Перрона — Фробениуса следует, что положительная матрица имеет действительное положительное простое собственное значение λmax, которое по модулю не меньше любого другого собственного значения матрицы. Собственный вектор, соответствующий λmax, имеет положительные компоненты и является единственным. Дня примитивной матрицы В, для которой положительная матрица является частным случаем, искомый собственный вектор w, соответствующий λmax, с точностью до постоянного множителя может быть получен из выражения:

uде      к = 1,2,...;

с — постоянная;

В — примитивная матрица;

||Вk|| = етВkе; е = (1,... 1)Т — знак транспонирования.

Согласованность матрицы парных сравнений можно рассматривать как степень уверенности эксперта в суждениях, достигается выполнением требований транзитивности и количественной однородности числовых оценок матрицы. При согласованности матрицы В размерности п х п все собственные значения матрицы должны быть нулями, за исключением одного, равного п. Показатели согласованности матрицы — индекс согласованности (ИС), определяемый согласно выражению (Xmax - п)/(п — 1), и отношение согласованности (ОС) как отношение ИС к среднему случайному индексу (СИ), сгенерированному для матриц различного порядка на базе 100 случайных выборок. Уровень удовлетворительной согласованности определяется значением ОС не более 0,1. Использование метода аналитической иерархии состоит из нескольких основных этапов/

1. Построение модели части реального мира в форме иерархической структуры, которая объединяет в себе главную цель, критерии, по которым ведётся отбор, и сами возможные альтернативы – варианты выхода из проблемы и достижения главной цели. Иерархия представляет собой разветвлённую совокупность взаимосвязей всех вышеперечисленных компонентов. Основную цель, к которой стремится ЛПР, разделяют на составные части – критерии, характеристики, которых в разных пропорциях имеют представленные альтернативы. Критерии могут быть представлены как количественными характеристиками альтернативы, так и качественными. Важно то, что каждая представленная альтернатива должна быть связана с каждым из её критериев. Очевидно, что при решении реальных проблем, в иерархическую структуру входит гораздо больше элементов. Построение качественной иерархической структуры – очень сложный процесс, потому что она должна отражать все элементы систем и подсистем, их взаимосвязи настолько точно, чтобы можно было с уверенностью сказать, что эта иерархия полностью описывает модель реального мира и учитывает все критерии, которые могут повлиять на конечное решение. Однако, как правило, при выполнении работы, которая требует предварительного составления иерархии для определения какого - то нужного решения среди всех возможных, представляется невозможным составить такую иерархическую структуру, которая будет точно описывать все существующие взаимосвязи между целями, критериями и вариантами исхода, соответственно некоторые связи опускаются. Это дает возможность не запутаться в огромном количестве линий, избежать беспорядка  в графическом отображении иерархической структуры.

2. Точное определение степени важности для каждого элемента иерархии.

3. Обобщение главных приоритетов альтернатив;

4. Проверка выводов на согласованность;

5. Принятие основного и конечного решения

Рис.1. Иллюстрация метода аналитической иерархии.

На рисунке изображена иерархическая структура, отображающая ситуацию, в которой заданная цель может быть достигнута четырьмя способами. На выбор принятия решения влияют три основных выделенных критерия. Буквенные обозначения, представленные в иерархии – коэффициенты, при помощи которых дальше можно будет вычислить приоритеты для каждой из альтернатив и выявить наиболее оптимальный и подходящий вариант. Представленные обозначения:

• W1, W2, W3 – коэффициенты важности (веса) критериев с точки зрения их важности. Логично, что заказчик имеет какие - либо предпочтения, что - то для него важнее, а что – то менее важно. Это отражается в данных коэффициентах соответственно для каждого критерия. Важность критерия обычно измеряют в процентах. При этом важно, что сумма коэффициентов важности всех заданных критериев равна 100 %;
• va1, vb1, vc1, vd1, va2, vb2, vc2, vd2, va3, vb3, vc3, vd3 – коэффициенты важности (веса) для каждой из альтернатив по каждому критерию. Измеряются аналогично в процентах, и их сумма для каждый из альтернатив должна составлять 100 %;
• Va, Vb, Vc, Vd – на основе этих приоритетов ЛПР делает выводы и выбирает одну из альтернатив.

Пример использования метода AHP в сфере строительства дорог

Допустим нужно выбрать объект строительства. Даны три объекта. Для начала определяются критерии для оценивания:

1) Время для ремонтных работ на объекте (1)

2) Расстояние от завода до места объекта (материалы и техника поставляется с завода) (2)

3) Доход по данному объекту (3)

Теперь попарно сравнивается для каждого критерия объекты. Попарное сравнение объектов по критерию 1:

Перевод десятичных дробей в строчные суммы.

Далее нормируются эти суммы таким образом, чтобы их сумма была равна 1

 Попарное сравнение объектов по критерию 2

 Далее нормируются эти суммы, как и с первым критерием, таким образом, чтобы их сумма была равна 1

 Попарное сравнение объектов по критерию 3

 Далее нормируются эти суммы, как и с первым критерием, таким образом, чтобы их сумма была равна 1

 Дальше нужно получить веса критериев. Для этого выполним такие же действия, как и для объектов

Перевод десятичных дробей в строчные суммы

Далее нормируются эти суммы таким образом, чтобы их сумма была равна 1

Получаются следующие веса критериев: w1 = 0,225 (Критерий номер 1), w2 = 0,079 (Критерий номер 2), w3 = 0,696 (Критерий номер 3).

Итоговая таблица альтернатив объектов

Далее применяется линейная свертка и получаются следующие интегральные оценки альтернатив:

1) s (x, y) = ??(x, y) = 0,225 ∗ 0,103 + 0,079 ∗ 0,134 + 0,696 ∗ 0,225 = 0,023 + 0,011 + 0,157 = 0,191

2) s (x, y) = ??(x, y) = 0,225 ∗ 0,291 + 0,079 ∗ 0,407 + 0,696 ∗ 0,079 = 0,065 + 0,032 + 0,055 = 0,153

3) s (x, y) = ??(x, y)=1 = 0,225 ∗ 0,535 + 0,079 ∗ 0,344 + 0,696 ∗ 0,121 = 0,120 + 0,027 + 0,084 = 0,231

Затем производится анализ отношения стоимость/эффективность. Используется отношение полученной интегральной оценки к нормированной стоимости. В данномм случаем, под “стоимостью” подразумевается расходы на строительство объекта. Наилучшей считается альтернатива, для которой указанное отношение максимально.

Таким образом, по методу AHP наша система выбрала объект 3 как самый лучший вариант, несмотря на то, что объект 1 самый прибыльный из всех, но занимает много времени для реализации.

Заключение

Метод, предложенный американским специалистом, оказался одним из наиболее востребованных методов принятия решений при многих критериях.

Список литературы

• Абдурахманов М.А. Аналитическая иерархия процессов в сфере строительства дорог // Академическая публицистика. 2022. №5-2. С. 16-21.
• Васильев А.А. Метод аналитической иерархии, как один из главных методов принятия решения по усовершенствованию маршрутов // Наука в современном обществе: закономерности и тенденции развития: статья в сборнике трудов конференции. – Уфа. 2022. С. 63-66.
• Выскуб В.Г. К вопросу автоматизации научно-технической экспертизы методом аналитической иерархии // Инноватика и экспертиза: научные труды. 2022. №2. С. 55-63.
• Китайцева Е. Х. Автоматизация метода анализа иерархий: учебно-методическое пособие. — Москва: МИСИ – МГСУ, 2020. — 53 с.
• Наумов П.В., Лазарев В.И. Применение метода аналитических иерархий при планировании комплексной цифровой трансформации на примере многопрофильного судостроительного и судоремонтного научно-производственного объединения // Судостроение. 2022. №6. С. 26-32.