Математика
Задание 1.
Задайте множества перечислением элементов. Нарисуйте на числовой прямой:
A – множество отрицательных целых чисел, больших -6.
Задание 2.
В группе 25 студентов. Из них 5 человек получили на экзаменах отличные оценки, 12 — хорошие, 6 — удовлетворительные и 2 — неудовлетворительные.
Определить вероятность того, что произвольно выбранный студент получил: 1) удовлетворительную оценку; 2) оценку не ниже хорошей.
1. Студент получил удовлетворительную оценку. Количество положительных исходов – m=6. Количество всех исходов n=25. Искомая вероятность
2. Студент получил оценку не ниже хорошей (хорошо или отлично). Количество положительных исходов – m=12+5=17. Количество всех исходов n=25. Искомая вероятность
Задание 3.
Проиллюстрируйте дистрибутивный закон объединения относительно пересечения для следующих случаев отношений между множествами:
B является подмножеством пересечения А и С:
Задание 4.
Составить интервальный ряд, построить гистограмму, полигон, кумуляту; найти среднее значение признака, моду и медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Результаты взвешивания 50 почтовых отправлений (посылок):
4,2; 4,5; 3,1; 5,1; 4,3; 4,7; 3,5; 4,4; 5,3; 3,7; 4,0; 4,8; 4,6; 3,0; 3,2; 5,2; 4,2; 3,9; 4,8; 4,6; 4,2; 2,9; 3,8; 5,6; 4,4; 5,5; 4,2; 4,3; 4,5; 5,4; 3,0; 4,1; 4,6; 3,0; 5,2; 4,2; 4,8; 3,4; 4,5; 5,0; 3,8; 3,9; 4,9; 4,5; 3,1; 3,1; 5,3; 4,2; 4,2; 4,4.
Объем выборки n=50. Определим количество интервалов, на которые разобьём ряд по формуле Стерджесса c округлением до ближайшего левого значения: .
В нашем случае .
Размах
Тогда длина частичного интервала
разделим на участки:
|
[2,9-3,35) |
[3,35-3,8) |
[3,8-4,25) |
[4,25-4,7) |
[4,7-5,15) |
5,15-5,6] |
|
2.9; 3; 3; 3; 3.1; 3.1; 3.1; 3.2 |
3.4; 3.5; 3.7
|
3.8; 3.8; 3.9; 3.9; 4; 4.1; 4.2; 4.2; 4.2; 4.2; 4.2; 4.2; 4.2 |
4.3; 4.3; 4.4; 4.4; 4.4; 4.5; 4.5; 4.5; 4.5; 4.6; 4.6; 4.6;
|
4.7; 4.8; 4.8; 4.8; 4.9; 5; 5.1;
|
5.2; 5.2 5.3; 5.3; 5.4; 5.5; 5.6.
|
Получим интервальный вариационный ряд:
|
Интервалы: |
xi |
ni |
|
2,9-3,35 |
8 |
|
|
3,35-3,8 |
3 |
|
|
3,8-4,25 |
13 |
|
|
4,25-4,7 |
12 |
|
|
4,7-5,15 |
7 |
|
|
5,15-5,6 |
7 |
|
|
Сумма: |
|
50 |
Для построения гистограммы и полигона найдем следующие данные:
|
Интервалы: |
xi |
ni |
ni/h |
wi |
wi/h |
|
2,9-3,35 |
3,125 |
8 |
17,78 |
0,16 |
0,36 |
|
3,35-3,8 |
3,575 |
3 |
6,67 |
0,06 |
0,13 |
|
3,8-4,25 |
4,025 |
13 |
28,89 |
0,26 |
0,58 |
|
4,25-4,7 |
4,475 |
12 |
26,67 |
0,24 |
0,53 |
|
4,7-5,15 |
4,925 |
7 |
15,56 |
0,14 |
0,31 |
|
5,15-5,6 |
5,375 |
7 |
15,56 |
0,14 |
0,31 |
|
Сумма: |
|
50 |
|
1 |
|
Гистограмма:
Для построения кумуляты найдем накопленные частоты:
|
Интервалы: |
xi |
ni |
si |
|
2,9-3,35 |
3,125 |
8 |
8 |
|
3,35-3,8 |
3,575 |
3 |
11 |
|
3,8-4,25 |
4,025 |
13 |
24 |
|
4,25-4,7 |
4,475 |
12 |
36 |
|
4,7-5,15 |
4,925 |
7 |
43 |
|
5,15-5,6 |
5,375 |
7 |
50 |
Полигон:
Кумулята:
Среднее значение признака .
Для поиска моды рассмотрим сгруппированный ряд и посчитаем количество повторений каждого из элементов:
|
Элемент |
2,9 |
3 |
3,1 |
3,2 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
3,8 |
3,9 |
|
Количество |
1 |
3 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
Элемент |
4 |
4,1 |
4,2 |
4,3 |
4,4 |
4,5 |
4,6 |
4,7 |
4,8 |
|
Количество |
1 |
1 |
7 |
2 |
3 |
4 |
3 |
1 |
3 |
|
Элемент |
4,9 |
5 |
5,1 |
5,2 |
5,3 |
5,4 |
5,5 |
5,6 |
|
|
Количество |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
Модой ряда является число 4,2 (повторяется 7 раз).
Расположим числа по возрастанию и найдем среднее арифметическое двух чисел посередине:
2.9; 3; 3; 3; 3.1; 3.1; 3.1; 3.2; 3.4; 3.5; 3.7; 3.8; 3.8;3.9; 3.9; 4; 4.1; 4.2; 4.2; 4.2; 4.2; 4.2; 4.2; 4.2; 4.3; 4.3; 4.4; 4.4; 4.4; 4.5; 4.5; 4.5; 4.5; 4.6; 4.6; 4.6; 4.7; 4.8; 4.8; 4.8; 4.9; 5; 5.1; 5.2; 5.2 5.3; 5.3; 5.4; 5.5; 5.6.
Пара чисел 4,3 и 4,3. Среднее арифметическое (4,3+4,3)/2=4,3. Медиана =4,3.
Дисперсия:
|
xi |
xi-xср |
(xi-xср)^2 |
xi |
xi-xср |
(xi-xср)^2 |
|
2,9 |
-1,4 |
2,0 |
4,3 |
0,0 |
0,0 |
|
3 |
-1,3 |
1,7 |
4,4 |
0,1 |
0,0 |
|
3 |
-1,3 |
1,7 |
4,4 |
0,1 |
0,0 |
|
3 |
-1,3 |
1,7 |
4,4 |
0,1 |
0,0 |
|
3,1 |
-1,2 |
1,4 |
4,5 |
0,2 |
0,0 |
|
3,1 |
-1,2 |
1,4 |
4,5 |
0,2 |
0,0 |
|
3,1 |
-1,2 |
1,4 |
4,5 |
0,2 |
0,0 |
|
3,2 |
-1,1 |
1,2 |
4,5 |
0,2 |
0,0 |
|
3,4 |
-0,9 |
0,8 |
4,6 |
0,3 |
0,1 |
|
3,5 |
-0,8 |
0,6 |
4,6 |
0,3 |
0,1 |
|
3,7 |
-0,6 |
0,4 |
4,6 |
0,3 |
0,1 |
|
3,8 |
-0,5 |
0,3 |
4,7 |
0,4 |
0,2 |
|
3,8 |
-0,5 |
0,3 |
4,8 |
0,5 |
0,3 |
|
3,9 |
-0,4 |
0,2 |
4,8 |
0,5 |
0,3 |
|
3,9 |
-0,4 |
0,2 |
4,8 |
0,5 |
0,3 |
|
4 |
-0,3 |
0,1 |
4,9 |
0,6 |
0,4 |
|
4,1 |
-0,2 |
0,0 |
5 |
0,7 |
0,5 |
|
4,2 |
-0,1 |
0,0 |
5,1 |
0,8 |
0,6 |
|
4,2 |
-0,1 |
0,0 |
5,2 |
0,9 |
0,8 |
|
4,2 |
-0,1 |
0,0 |
5,2 |
0,9 |
0,8 |
|
4,2 |
-0,1 |
0,0 |
5,3 |
1,0 |
1,0 |
|
4,2 |
-0,1 |
0,0 |
5,3 |
1,0 |
1,0 |
|
4,2 |
-0,1 |
0,0 |
5,4 |
1,1 |
1,2 |
|
4,2 |
-0,1 |
0,0 |
5,5 |
1,2 |
1,4 |
|
4,3 |
0,0 |
0,0 |
5,6 |
1,3 |
1,7 |
Сумма равна 26,2. Тогда дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации:
Задание 5.
Выполнить действия над комплексными числами:
Для деления комплексного числа умножаем обе части дроби на сопряженное комплексное число.
Задание 6.
Найти корни уравнения:
a=1, b=-8, c=17
Задание 7.
Переведите в шестеричную систему счисления 121.
|
|
1 |
2 |
1 |
6 |
|
|
|
- |
1 |
2 |
0 |
2 |
0 |
6 |
|
|
|
|
1 |
1 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Задание 8.
Переведите в десятичную систему счисления: 1AB12.
1AB12=++
Задание 9.
Два футболиста поражают ворота с 11 метров с вероятностями 0,9 и 0,95. Найти вероятность того, что только один мяч, после двух ударов, оказался в воротах.
Если оказался только один мяч, то вероятность P будет складываться из двух случаев:
1 случай – первый футболист попал (с вероятностью 0,9), второй не попал (с вероятностью Вероятность данного случая .
2 случай – второй футболист попал (с вероятностью 0,95), первый не попал (с вероятностью Вероятность данного случая .
Общая вероятность P=
Задание 10.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
|
Х |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
3,2 |
|
Р |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величины.
Математическое ожидание =0.42+0.72+0.46+0.32=1.92
|
Х |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
3,2 |
|
Р |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
|
0.42 |
0.72 |
0.46 |
0.32 |
Дисперсия
==0.588+1.296+1.058+1.024=3.966
|
Х |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
3,2 |
|
Р |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
|
1.96 |
3.24 |
5.29 |
10.24 |
|
|
0.588 |
1.296 |
1.058 |
1.024 |
Среднее квадратическое отклонение
