Дискриминантный анализ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова»

(ФГБОУ ВО «ЧГУ им. И. Н. Ульянова»)

Экономический факультет

Кафедра актуарной и финансовой математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по «Многомерным статистическим методам»

на тему «Дискриминантный анализ»

Вариант 17

Выполнил: студент группы

__________                                                                        ____________

Проверил: старший

преподаватель                                                                     Д.В. Бобин

                                              г. Чебоксары, 2022

В таблицах «Класс Н – надежные клиенты» и «Класс Д – дефолтные клиенты» приведены характеристики студентов:

X1- возраст (лет);

X2- пол (1 – муж., 0 – жен.);

X3- брак (1 – да, 0 – нет);

X4- количество иждивенцев (чел.);

X5- заявленный среднемесячный доход (руб.);

X6- месячный платеж (руб.);

X7- срок проживания в регионе (лет);

Y- благонадежность (1 – благонадежный, 0 – дефолтный).

Задание:

0. Удалить из матриц Н и Д строки с номером N – порядковый номер студента в группе.

1. Найти коэффициенты линейной дискриминантной функции: K = (k 1, k 2 , ..., k p).

2. Найти константу дискриминации: C.

3. Составить дискриминантное уравнение: k 1Х1 + k 2Х2 + ... + k pХp = C.

4. Оценить качество полученной модели с помощью долей ошибок hj

5. НАПИСАТЬ ОТЧЕТ ПО КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ: титульник, вариант; статистические данные для варианта; ход решения с расчетами, пояснениями, комментариями и формулами; выводы.

Литература:

1. Ссылка на видео выполнения КР в MS Excel: https://cloud.mail.ru/public/sTpx/4Cdpn3LDL .

2. Сошникова Л.А. и др. Многомерный статистический анализ в экономике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.Н. Тамашевича. – М.: Юнити-Дана, 1999. – 598 с.

3. Дубров А.М. и др. Многомерные статистические методы: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 352 с.

4. Тихомиров Н.П. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа: Учебник / Н.П. Тихомиров и др. – Москва: Экономика, 2011. – 647 с.

5. Александровская Ю.П. Классификация многомерных данных в экономике: дискриминантный анализ. — Казань, 2018. — 80 c. // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS. — URL: http://www.iprbookshop.ru/94981.html. (Доступна при регистрации через электронную библиотеку ЧГУ).

Решение:

Матрица Д имеет размерность 17*7, матрица Н – 58*7.

1. Найдите коэффициенты линейной дискриминантной функции: K.

Коэффициенты дискриминантной функции найдем по формуле:

K = S∗−1 (X̅н − X̅д),

где    S∗−1 – обратная объединенная ковариационная матрица,

X̅ – векторы средних значений надежных и дефолтных клиентов.

Объединенная ковариационная матрица находится по формуле:

S∗ = ((n1−1)Sн+(n2−1)Sд)/(n1+n2−2),

где    Sн, Sд– ковариационные матрицы надежных и дефолтных клиентов,

n1, n2 – число строк в таблицах надежных и дефолтных клиентов.

Средние значения признаков Х матрицы ДЕФОЛТНЫХ клиентов:

Средние значения признаков Х матрицы НАДЕЖНЫХ клиентов:

Ковариационная матрица SА:

Ковариационная матрица SВ:

Объединенная ковариационная матрица S∗:

Обратная объединенная ковариационная матрица S∗−1:

Вектор разности средних :

Коэффициенты линейной дискриминантной функции K:

Линейная дискриминантная функция имеет вид: F(X) = -0,09*x1-0,62*x2-0,06*x3-6,73*x4+0,00*x5-0,00*x6-0,05*x7.

2. Найдите константу дискриминации: C.

Константу дискриминации функции найдем по формуле:

C = 0,5 ∗ ( + ),

,-значения дискриминантной функции F(X) для векторов.

Для нахождения F(X̅) средние значения признаков X таблицы НАДЕЖНЫХ клиентов перемножаются с коэффициентами линейной дискриминантной функции K: (-0,09; -0,62; -0,06; -6,73;0,00;0,00; -0,05) *(33,86;0,69;0,67;0,78;17003,45;3632,91;13,34) = (-0,09) *33,86+……+(-0,05) *13,34) = -5,69. Для нахождения F(X̅) средние значения признаков X таблицы ДЕФОЛТНЫХ клиентов перемножаются с коэффициентами линейной дискриминантной функции K: (-0,7; -0,3; -0,2;0,5; -6644,6;1346,4;2,1) *(33,2;0,4;0,5;1,3;10358,8;4979,3;15,5) = ((-0,7) *33,2+……+2,1*15,5) = -10,44.

Константа дискриминации: C = 0,5 ∗ ((-5,69) +(-10,44)) = -8,07

3. Составьте дискриминантное уравнение: k1x1 + k2x2 + ... + kpxp = C.

-0,09*x1-0,62*x2-0,06*x3-6,73*x4+0,00*x5-0,00*x6-0,05*x7= -8,07

4. Оцените качества полученной модели с помощью долей ошибок hj.

Для каждого объекта из тестовой выборки находим значения функции F(X) и сравниваем его со значением ДФ в центрах тяжести классов X̅н и X̅д по схеме:

ЕСЛИ |F(Oiн) − F(X̅н)| < |F(Oiн) − F(X̅д)|, ТО Oiнε"Н", ИНАЧЕ Oiнε"Д".

Качество модели оценим по доле ошибок hj в множестве j. В группе «Н»: h1=w1/n1, где n1 – объем группы «Н», w1 – количество ошибочно классифицированных объектов группы Н. Аналогично находим долю ошибок h2 в группе «Д»: h2=w2/n2. По всей обучающей выборке доля ошибок составить h: h=(w1+w2) / (n1+n2).

Доля ошибок в группе Н: h1=w1/n1 = 5/58 = 0,086

Доля ошибок в группе Д: h2=w2/n2 = 5/17 = 0,294

Доля ошибок по всем группам: h=(w1+w2) / (n1+n2) = (5+5) / (58+17) = 0,133.

h=0,133<0,05, следовательно, модель Д качественная.