Экономика

Задание 3

Используя данные 10-ти предприятий произвести стохастический факторный (корреляционный анализ). В качестве примера прямолинейной зависимости между факторными и результативными показателями использовать данные об изменении уровня выработки рабочих (Y) в зависимости от уровня фондовооружённости труда (X). представленные в табл.1

Таблица 1 - Данные об изменении уровня выработки рабочих (Y) в зависимости от уровня фондовооружённости труда (X)

Номер предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Фондовооружённость, тыс. руб./чел. X	103	106	109	112	115	119	121	124	128	132
Выработка рабочих, тыс. руб./чел. Y	1033	1064	1095	1126	1157	1199	1219	1243	1284	1325

 

Рисунок 1 - Расчет коэффициента корреляции

 

Как видим, коэффициент корреляции в виде числа появляется в заранее выбранной нами ячейке. В данном случае он равен 0,99, что является очень высоким признаком зависимости одной величины от другой.

Рисунок 2 - Графическое изображение величин

Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.

Рисунок 3 - Вывод итогов

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты. R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,999, или 99,9%. Это означает, что расчетные параметры модели на 99,9% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «Хорошо». Коэффициент 1,3194 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели. Коэффициент 10,036 показывает весомость переменной Х на Y. То есть зависимость изменения уровня выработки в пределах данной модели влияет на уровень фондовооруженности труда с весом 10,036 (это большая степень влияния). Что справедливо.

Задание 4

Произвести расчет основных показателей экономической эффективности инвестиционного проекта, если сумма инвестиций составила 500 тыс. руб. Ожидаемый доход (CFI) за 6 лет составят (таблица 2)

Таблица 2 - Ожидаемый доход (CFI)

Год	2018	2019	2020	2021	2022	2023
Ожидаемый доход (CFI), тыс. руб	40	140	200	250	300	350

 

Решение задачи:

,                                            (1)

где:   IC – сумма первоначальных инвестиций;

N – число периодов (месяцев, кварталов, лет), за которые нужно рассчитать оцениваемый проект;

t – отрезок времени, для которого необходимо рассчитать чистую приведенную стоимость;

i – расчетная ставка дисконтирования для оцениваемого варианта вложения инвестиций;

CFt – ожидаемый денежный поток (чистый) за установленный временной период.

В первую очередь нужно рассчитать чистые денежные потоки по формуле     

CFI /(1+r)t,                                                                  (2)

где    CFt – денежные потоки по годам;

r – ставка дисконтирования;

t – номер года по счету.

Тогда в первый год чистый денежный поток будет равен CFI / (1 + r)^t = 40 000 / (1 + 0,19)^1 = 33 613,45 рублей. Во второй год этот показатель составит CFI / (1 + r)^t = 140 000 / (1 + 0,19)^2 = 98 863,07 рублей. В третий год получится результат CFI / (1 + r)^t = 200 000 / (1 + 0,19)^3 = 118683,16 рублей. В четвертый год чистый денежный поток окажется равен CFI / (1 + r)^t = 250000 / (1 + 0,19)^4 = 124 667,19 рублей. В пятый год – CFI / (1 + r)^t = 300000 / (1 + 0,19)^5 = 125714,81 рублей. В шестой год – CFI / (1 + r)^t = 350000 / (1 + 0,19)^6 = 123249,81 рублей.

∑ CFI / (1 + r) ^ i = 33 613,45 + 98 863,07 + 118683,16 +124 667,19 + 125714,81+ 123249,81 = 624 791,49 рублей.

Применяем уже упомянутую выше формулу расчета и получаем:

NPV = - 500 000 + 624 791,49 = 124791,49 рублей.

NPV= 124791,49 рублей.

Чтобы инвестиции оправдались, итоговый показатель должен быть положительным. В нашем примере он положителен.

Индекс рентабельности:
,                                                             (3)

Внутренняя норма прибыли инвестиции. Под внутренней нормой прибыли инвестиции (RR-синонимы: внутренняя доходность, внутренняя окупаемость) понимают значения коэффициента дисконтирования r, при котором NPV проекта равен нулю:

Срок окупаемости – это минимальный временной интервал (от начала осуществления проекта), за пределами которого интегральный эффект становится и в дальнейшем остается неотрицательным.

Таблица 4 - Определение срока окупаемости

Период	PVt	Нарастающий PVt	DICt	Нарастающий DICt
0			500000	500000
1	33613.445	33613.445
2	98863.073	132476.519
3	118683.16	251159.679
4	124667.183	375826.861
5	125714.805	501541.666
6	123249.805	624791.471

 

В нашем случае капитальные вложения равны 500 тыс. руб. По таблице видно, что 500 тыс. руб. покроются суммарными результатами после 4 года. Это результат примерный, только в годах. Для уточнения периода окупаемости рассчитаем, за какой период будут покрыты все инвестиционные затраты после 4 года.

Нарастающий DICt-PV4 = 500000-375826.861=124173.139

Интегральный результат за 5 год: PV5 = 125714.805 руб. за 365 дней.

DРР2=124173.139/125714.805*365=361 дней.

Следовательно, срок окупаемости проекта составит: DРP=DРР1+DРР2 = 4 года + 361 день.

Определение предельного значения изменения дохода. В ситуации, когда инвестиционный проект будет иметь интегральную точку безубыточности, NPV будет равен нулю.

 

Рисунок 4 - Расчет ВСД

Расчеты показали, что внутренняя норма доходности инвестиционного проекта составляет 11%.

 

 

 

 

Задание

Корреляционный анализ. Уравнение парной регрессии.  Использование графического метода.

Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.

Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a. Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, a и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение). Причины существования случайной ошибки:

1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;

2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.

3. Неправильное описание структуры модели;

4. Неправильная функциональная спецификация;

5. Ошибки измерения.

Так как отклонения ε_i  для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).  Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(y_i - y^*_i)² → min

Система нормальных уравнений.

a·n + b·∑x = ∑y

a·∑x + b·∑x² = ∑y·x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

 

 

Для наших данных система уравнений имеет вид

11a + 353.6·b = 802

353.6·a + 12016.4·b  = 27411.6

Домножим уравнение (1) системы на (-32.145), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-353.6a -11366.472 b = -25780.29

353.6*a + 12016.4*b  = 27411.6

Получаем:  649.928*b  = 1631.31. Откуда b = 2.51. Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

11a + 353.6*b = 802

11a + 353.6*2.51 = 802

11a = -85.552

a = -7.7775

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 2.51, a = -7.7775. Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 2.51 x -7.7775

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

=

=

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Коэффициент корреляции.

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y и фактором X  весьма высокая и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Значимость коэффициента корреляции.

Выдвигаем гипотезы:

H₀: r_xy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;

H₁: r_xy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H₁ ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку t_крит двусторонней критической области. Если t_набл < t_крит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |t_набл| > t_крит — нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=9 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если |t_набл| > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку |t_набл| > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

В парной линейной регрессии t²_r = t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции.

r(0.751;1)

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

=

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 2.51 x -7.777. Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 2.51 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 2.51.

Коэффициент a = -7.777 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Коэффициент эластичности. Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.  Коэффициент эластичности находится по формуле:

В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

 

 

Выводы.

 

Изучена зависимость Y от X. На этапе спецификации была выбрана парная линейная регрессия. Оценены её параметры методом наименьших квадратов. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации. Установлено, что в исследуемой ситуации 92.27% общей вариабельности Y объясняется изменением X. Установлено также, что параметры модели статистически не значимы. Возможна экономическая интерпретация параметров модели - увеличение X на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 2.51 ед.изм.