Главная БЕСПЛАТНО

Методика обучения теме "Делимость" в курсе алгебры обучающихся естественно-математического профиля

1. Сравнительный анализ темы «Делимость» в курсе математики общеобразовательной школы.

Элементы теории делимости рассматриваются на протяжении всего обучения математики в школе. Рассмотрим учебную программу 5 – 11 классов на содержание элементов теории чисел.

Анализ учебной программы по математике 5-6 класса по учебнику С.М. Никольского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова, А. В. Шевкина «Математика, 5», «Математика, 6».

В пятом классе изучается тема: «Делимость натуральных чисел». На данную тему отводиться 19 часов.

В содержание темы: «Делимость натуральных чисел» входит: «Свойства делимости», «Признаки делимости на 10, на 5 и на 2», «Признаки делимости на 9 и на 3», «Простые и составные числа», «Делители натурального числа», «Разложение на простые множители», «Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа», «Наименьшее общее кратное», «Использование четности при решении задач».

Далее, элементы теории делимости можно выделить при изучении следующих тем: «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», «Умножение и деление обыкновенных дробей», «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел».

Анализ учебной программы по математике 6-го класса по учебнику Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова «Математика, 6».

В начале первой четверти идет систематизация и обобщение темы «Делимость чисел». Далее, элементы теории делимости встречаются при изучении темы «Отношение чисел и величин», «Целые числа», но основная часть программы (38 часов) посвящена изучению темы «Рациональные числа», которая потом плавно переходит в изучение десятичных дробей и на протяжении всей четвертой четверти происходит закрепление, коррекция и систематизация знаний учащихся по теме «Дроби».

Анализ учебной программы по алгебре 7-го класса по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова «Алгебра, 7».

В начале учебного года проводится повторение по темам «Обыкновенные дроби» и «Действия с рациональными числами». Далее элементы теории чисел встречаются при изучении тем «Одночлены и многочлены», а именно при изучении деления одночлена и многочлена на одночлен.

Далее, при изучении темы «Разложение многочленов на множители» можно выделить некоторые элементы теории делимости, а именно, вынесение общего множителя за скобки, применение нескольких способов разложения многочлена на множители.

Так же, элементы теории делимости можно выделить в теме «Алгебраические дроби», а именно, приведение дробей к общему знаменателю и умножение и деление алгебраических дробей.

Анализ учебной программы по алгебре 8-го класса по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова «Алгебра, 8».

Элементы теории делимости можно встретить в начале первой четверти при изучении темы «Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями».

В основном элементы теории делимости рассмотрены в разделе «Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями», «Умножение и деление алгебраических дробей», «Квадратные уравнения. Теорема Безу». Элементы теории сравнения встречаются так же как и в 7 классе только в учебных программах, разработанных для профильного уровня по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова «Алгебра, 8».

Здесь уже идет обобщение и систематизация материала, на изучение которого выделяется 4 часа. Анализ учебной программы по алгебре 9-го класса по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Неш.

Основными темами в курсе 9 класса при рассмотрении теории делимости является темы «Квадратный трехчлен», «Разложение многочлена на множители» и «Деление многочлена на многочлен». Эта тема хорошо рассмотрена при углубленном изучении.

Элементы теории делимости и сравнения практически встречаются в начале учебного года при повторении курса алгебры 7 – 8 класса и в течение всего курса при изучении решений (разных видов) уравнений и при решении неравенств с двумя переменными (квадратных неравенств с одной переменной).

Анализ учебной программы по алгебре 10-го и 11-го класса по учебнику С.М. Никольского, С.М. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина «Алгебра и начала математического анализа 10 – 11 класс (базовый и профильный уровни). Элементы теории делимости встречаются на протяжении всего 10 класса.

В начале года учащиеся повторяют материал 7 – 9 класса, затем изучают действительные числа. Действительным числам посвящена целая глава. Здесь ученики закрепляют знания о делимости чисел, сравнение по модулю, задачи с целочисленными неизвестными. В дальнейшем ученики изучают тему, посвященную рациональным уравнениям и неравенствам, корень степени, степенные положительные числа. Большое внимание учителя уделяют подготовке к ЕГЭ (можно выделить некоторые элементы теории делимости и сравнения, в заданиях).

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: элементы теории чисел прослеживаются на протяжении всего курса алгебры основной и старшей школы, но основные понятия и прикладные задачи рассматриваются только в 5 – 6 классе, далее теоретический материал даѐтся только в 10 классе.

Анализ методической литературы показал, что задачи по теории чисел представлены в государственной итоговой аттестации и едином государственном экзамене. Для устранения указанного «пробела» целесообразно рассматривать задачи по теории делимости при изучении ряда тем школьного курса «Алгебра 7-9».

2. Методические основы обучения решению задач на делимость в школьном курсе математики.

Актуальность темы «Делимость» определяется значимостью понимания школьниками особого положения теории чисел в школьной программе. Но программа школьного курса ограничена и не позволяет в полном объеме рассмотреть задачи на использования алгоритма Евклида при нахождении НОД и решении диофантовых уравнений, также подробного рассмотрения признаков делимости чисел, многочленов, сравнения чисел.

Эти задачи часто включаются в письменные работы при поступлении в различные учебные заведения и вызывают у учащихся трудности, обусловленные необходимостью понимания закономерностей, наличия навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, систематичности и последовательности в решении, умения объединять рассмотренные частные случаи в единый результат.

Изучение данной темы реализуется в 10 - 11 классе. Он, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса алгебры, направлен на систематизацию знаний, реализацию внутрипредметных связей, а с другой – служит для построения индивидуального образовательного пути.

Изучение темы формирует такие умения и навыки как логичность и самостоятельность мышления, умение обобщать и систематизировать, навыки в решении задач. Предлагаемый курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает конкурентоспособность школы, так как реализация данного курса дает более глубокие знания по математике, увеличивает уровень интеллектуального развития учащихся, что благоприятствует их дальнейшему обучению.

Цель изучения темы:

перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения задач) к творческому;
научить применять знания алгоритма Евклида, свойств простых и составных, дружественных, фигурных, совершенных чисел, составление диофантовых уравнений при решении задач.

Приобретенные в процессе практической деятельности знания и умения помогут учащимся в формировании ключевых компетенций: готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач.

Изучение данной темы проводится в течении двух лет старшей школы (10 – 11 класс) и полностью соответствует требованиям к уровню подготовки выпускников по математике на ступени основного общего образования, а именно: свободно, правильно излагать свои мысли в устной и письменной форме, развивать свою мыслительную деятельность, абстрактное мышление.

Это связанно с тем, что в это время учащиеся располагают всеми знаниями, которые нужны на начальном этапе изучения элективного курса и углубят свои знания на следующем этапе элективного курса. Данный курс не дублирует программы по математике, а лишь опирается на знания и умения, полученные учащимися, совершенствует их, восполняет возникшие проблемы в обучении, давая широкий простор для развития самостоятельности и творческой деятельности.

Учащиеся более подробно знакомятся с теорией чисел (с делимостью чисел, с делимостью многочленов и сравнением).

Занятия проводятся в форме лекций учителя, бесед с учащимися, практикумов, консультаций.

Основные цели курса:

1. Расширение кругозора учащихся;

2. Развитие математического мышления и формирование активного познавательного интереса к предмету;

3. Воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения математики.

4. Приобщение учащихся к исследовательской деятельности;

5. Подготовка одаренных школьников к олимпиадам;

6. Систематизация, обобщение знаний и умений по математике.

Обучение по данной программе имеет ряд методических особенностей:

1. Подача материала выстраивается от простого к сложному.

2. Новый материал дается на основе того, что уже изучено.

3. Постепенно вырабатываются навыки правильного абстрактного и логического мышления.

4. Поэтапное обучение логике построения решения математических задач.

5. Знакомство с творческой деятельностью и самостоятельностью.

6. Каждое правило и утверждение сопровождается соответствующими примерами.

7. Набор тем полностью соответствует школьной программе, охватывает все возможные варианты делимости для этого этапа обучения.

Основные требования к знаниям и умениям учащихся.

Для успешного усвоения этих тем ученик должен иметь следующий исходный уровень знаний и умений:

– знать определения делимости чисел;

– знать признаки делимости на 5, на 10 и на 2;

– знать признаки делимости на 3 и на 9;

– знать понятие делителя, делимого и кратного;

– знать определение простого и составного числа;

– знать алгоритм разложения на простые множители;

– знать определение НОД и НОК;

- знать определение понятия взаимно простые числа;

– уметь находить НОД и НОК;

– уметь применять алгоритм разложения на простые множители;

– уметь применять признаки делимости;

– уметь отличать простое число от составного;

– уметь находить остаток и частное при делении многочленов;

– уметь проводить преобразования буквенных выражений;

– уметь распознавать признаки делимости;

–уметь применять основные факты математического анализа для решения задач, применения признаков делимости и их комбинация;

–уметь использовать свойства сравнения для решения задач.

Планируемые результаты.

По окончании курса учащиеся будут знать:

1. основные приемы решения задач по элементам теории чисел;

2. нестандартные методы решения задач; уметь:

3. строить и анализировать предполагаемое решение поставленной задачи;

4. пользоваться на практике методикой решения задач по элементам теории чисел;

5. решать задачи КИМ ЕГЭ.

II. Тематическое планирование.

№	Наименование темы	Кол-во часов
10 класс
Тема 1.	Делимость чисел.	40
1	Введение в историю математики.	1
2	Свойства делимости. Решение задач на доказательство.	5
3	НОД и НОК. Основные свойства.	4
4	Алгоритм нахождения НОД и НОК.	5
5	Признаки делимости на 4, 6, 7 и на 8.	5
6	Признаки делимости на 11, 12, …, 17.	5
7	Признаки делимости. Обобщение и систематизация. Решение задач.	5
8	Решение олимпиадных задач.	4
11 класс
9	Признаки делимости суммы и разности	3
10	Признаки делимости суммы, разности и произведения.	3
Тема 2.	Делимость многочленов.	8
11	Делимость многочленов. Разложение многочленов на множители.	4
12	Нахождение НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.	4
Тема 3.	Сравнение чисел.	20
13	Сравнение чисел и их свойства.	2
14	Сравнение чисел и их свойства. Самостоятельная работа.	2
15	Сравнение первой степени.	5
16	Обобщение, систематизация и коррекция знаний по изученным темам.	2
17	Решение задач №19 КИМ ЕГЭ	9
Итого		6

Содержание программы

1. Введение в историю математики.

2. Делимость чисел. Свойства делимости. Решение задач на доказательство. НОД и НОК. Основные свойства НОД и НОК. Алгоритм нахождения НОД и НОК. Признаки делимости на 4, 6, 7 и 8. Признаки делимости на 11, 12, …, 17. Обобщение и систематизация. Решение задач. Решение олимпиадных задач.

3. Делимость многочленов. Разложение многочленов на множители. Нахождение НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.

4. Сравнение. Сравнение чисел и их свойства. Сравнение первой степени. Обобщение, систематизация и коррекция знаний по изученным темам. Решение задач №19 КИМ ЕГЭ.

Формы контроля знаний учащихся.

Тестирование учеников, анализ творческих работ учащихся учителем, оценивание рефератов.

Критерии оценивания:

«Высокий уровень» - учащийся освоил теоретический материал и сознательно применяет при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными заданиями продемонстрировал умение работать самостоятельно, творчески.

«Средний уровень» - учащийся освоил идеи и методы данного курса так, что может справиться со стандартными заданиями, индивидуальные задания выполняет прилежно (без проявления творческих способностей)

«Низкий уровень» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы данного курса так, что он может выполнить простые задания.

Примерные темы рефератов:

1. Элементарные теоремы о делимости.

2. Решето Эратосфена.

3. Формула Эйлера.

4. Алгоритм Евклида.

5. Основные свойства сравнений.

6. Признаки делимости.

7. Работы по теории чисел русских и советских математиков (Л. Эйлер, П.Л. Чебышев, Е.И. Золотарѐв и др.).

Темы творческих работ:

1. Составить таблицу простых чисел, больших числа 200 и не превосходящих числа 300.

2. Выведите признак делимости на 2n .

3. Выведите признак делимости на 5n .

4. Выведите признак делимости на 13.

5. Выведите признак делимости на 17.

6. Основные теоремы теории сравнения по модулю.

7. Решение уравнений в целых числах методом перебора.

8. Решение нелинейных уравнений методом разложения на множители.

Необходимо отметить, что особое место в решении задач 19 занимает теоретический материал для их решения. Он преподается достаточно рано (в 5, 6-ом классах), а некоторые задачи не входят в обязательную программу и изучаются только в профильных классах (с 7 по 9-ый). Поэтому для успешного решения задач 19 следует повторить школьный материал по теории чисел.

В своей учебно-исследовательской работе мы приводим решения задач по арифметике и алгебре №19 ЕГЭ, давно включаемых во вступительные экзамены в ведущих вузах России. Рассмотрев задачи из книг по подготовке к ЕГЭ 2016 – 2017, демонстрационных вариантов ЕГЭ 2018 и пособий для поступающих в ВУЗы, мы выделили следующие классы задач:

1. Делимость и признаки делимости.

2. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

3. Текстовые задачи. Все необходимые теоретические сведения для решения задач по теории чисел можно найти в учебниках по алгебре, по алгебре и началам анализа с 7 по 10 класс, профильный уровень. Делимость и признаки делимости.

Пример 1.

Дано трѐхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр? [11]

Решение.

Пусть данное число равно 100a + 10b+ c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 100a + 10b + c= ka + kb + kc.

а) Если частное равно 90, то

100a+ 10b + c = 90a + 90b + 90c; 10a = 80b + 89c, что верно, например, при c= 0, b = 1, a = 8: частное числа 810 и суммы его цифр равно 90.

б) Если частное равно 88, то 100a + 10b+ c = 88a + 88b + 88c↔12a = 78b+ 87c. Получаем:

a< 10 ↔ 12a< 120 ↔ 78b + 87c< 120.

Значит, b = 0, c = 1или b= 1, c = 0. Но ни 78, ни 87 не делится на 12. Значит, частное трѐхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.

в) Пусть k— наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 100 и суммы его цифр. Тогда

100a + 10b + c = ka + kb + kc↔(100 – k)a = (k – 10)b + (k – 1)c.

Учитывая, что b+ c> 0, получаем:

9(100 – k)≥(100 – k)a = (k – 10)b + (k – 1)c≥ (k – 10)(b + c) ≥k – 10, откуда 9(100 – k)≥k– 10 ↔ 10k≤ 910 ↔k≤ 91.

Частное числа 910 и суммы его цифр равно 91. Значит, наибольшее натуральное значение частного трѐхзначного числа, не кратного 100, и суммы его цифр равно 91.

Ответ:

а) да;

б) нет;

в) 91.

Пример 2. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причѐм каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2.

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?[15]

Решение.

а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещѐ 2 очка. Всего 6 + 6 + 2 = 14 очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего

2⸱= 90 партий. В каждой партии вне зависимости от еѐ исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.

в) Всего детей было 7d + d= 8d, играя по две партии каждый с каждым, они сыграли между собой

2 ∙ = 8?(8? − 1) партий и разыграли 8d(8d – 1) очков.

Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек 2d(8d – 1) = 16d 2 – 2d очков.

Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум 2·d·7d очков, а играя между собой, девочки распределили d(d – 1) очков.

Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно 14d 2 + d(d – 1). Тем самым, имеем: 16d 2 – 2d≤15d 2 – d↔d 2 ≤d.

Следовательно, девочек не могло быть больше одной. 40 Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков.

Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

Пример 3. Наибольшее целое число, не превосходящее число x, равно

. Найдите все такие значения x. [20]

Решение. По условию x≥ ≥ 6/7 ≥ 0.

Поэтому, если обозначить ? 2+6 7 = b, то ? = 7? − 6.

Тогда число b — целое и должно удовлетворять системе:

↔

Второе неравенство верно при всех b, а из первого неравенства находим: 1 ≤ ? ≤ 6.

Следовательно, ? = = 1, и ? = , ? = , ? = , ? = и ? = 6.

Ответ: 1, , , , , 6.

Пример 4. Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? [21]

Решение.

1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна

(2 + …+ 7)(13 + …+ 21) = ( ∙ 6) ∙ (∙ |9) = 27·153 = 4131.

2. Так как сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.

3. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получится при раскрытии следующих скобок:

(-2 +3 -4 +5 +6 -7)(-13 -14 -15 -16 +17 -18 +19 +20 +21) = 1·1 = 1.

Ответ: 1 и 4131.

Пример 5. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9? [11]

Решение. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, делится на 11.

Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5.

Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечетных и на четных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 1 и 4 или 3 и 6, получаем требуемые примеры.

Пример 6.

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки.

Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чиселa1 , …, an равно ?1 ∙ … ?? ? . Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.

а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма? [27]

Решение.

а) Заметим, что если рейтинг кинофильма — целое число, то произведение оценок двух экспертов — точный квадрат. Произведение двух чисел от 1 до 10 не превосходит 90.

Под это условие попадают квадраты чисел от 1 до 9. Но числа 1, 25, 49, 64 и 81 не представляются в виде произведения двух различных целых чисел от 1 до 10. Значит, для двух экспертов может быть не более четырѐх кинофильмов. б) Допустим кинофильмы получили такие наборы оценок: (1; 2 4), (2; 4; 8), (1; 3; 9), (4; 6; 9).

Тогда среднее геометрическое этих наборов — различные целые числа. Условие задачи выполняется.

в) Если кинофильм получил оценки (3; 6; 8; 9), то условие задачи выполняется. Если экспертов больше четырѐх, то произведение их оценок делится на a4, где a — рейтинг кинофильма. Произведение всех возможных оценок 10! делится только на 15 и 25 . Значит, целый рейтинг может равняться только 1 и 2 соответственно.

Но среди чисел от 1 до 10 только одна степень единицы и четыре степени двойки. Значит, экспертов не могло быть более четырѐх. Таким образом, наибольшее возможное число экспертов — это 4.

Ответ: а) нет; б) да; в) 4.

Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

Пример 7. Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А. [22]

Решение. Наименьшее общее кратное чисел, составляющих множество А. 210 = 2 · 3 · 5 · 7.

Поэтому числа, составляющие множество А — это делители 210.

Всего делителей 16:1,2,3,5,7,2 · 3,2 · 5,2 · 7,3 · 5,3 · 7,5 · 7,2 · 3 · 5,2 · 3 · 7,2 · 5 · 7,3 · 5 · 7,2 · 3 · 5 · 7.

Каждый делитель содержит не более одного множителя 2.

А произведение всех чисел из А делится на 1920 = 27 · 3 · 5. Поэтому среди чисел, составляющих А, должно быть, по крайней мере семь четных, а их всего восемь:2,2 · 3,2 · 5,2 · 7,2 · 3 · 5,2 · 3 · 7,2 · 5 · 7,2 · 3 · 5 · 7.

Если число 2 входит в А, то любое другое число из А должно делится на 2. Значит, А={2,6,10,14,30,42,70,210}, но произведение этих чисел равно 28 · 34 · 54 · 74 = (24 · 32 · 52 · 72)·2.

Значит, 2 не входит в А, а числа 2 · 3,2 · 5,2 · 7,2 · 3 · 5,2 · 3 · 7,2 · 5 · 7,2 · 3 · 5 · 7 входят в А, но их всего семь. Поэтому этот набор нужно расширить, добавляя делители 210, не взаимно простые со всеми указанными семью числами.

Такой делитель единственный — 3 · 5 · 7.

Ответ: А = {6,10,14,30,42,70,105,210}

Пример 8. Винтики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же винтики разложить в пакетики 44 так, что в каждом пакетике будет на 3 винтика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее число винтиков может быть при таких условиях? [27]

Решение.

Пусть в каждой из x коробок лежит три пакетика, по n винтиков в каждом. Во втором случае коробок (x + 2), пакетиков в коробке 2, а винтиков в пакетике (n + 3). По условию задачи получаем: 3?? = 2 ? + 3 ? + 2 ↔ 3?? = 2 ? + 3 ? + 2 .

Откуда ? = = 6 + = 6 (1 +.

Учитывая, что числа n и x натуральные, получаем, что — натуральный делитель числа 36.

Количество винтиков при этом ? ? = 3?? = 18 ? + 6? ? − 4 = 18 ? + 24 ? − 4 + 108.

Решение находим перебором делителей.

Ответ: 840.

Текстовые задачи.

В данных задачах можно составить линейное целочисленное уравнение, решение которого, а, следовательно, решение задачи, можно получить с использованием алгоритма решения линейных целочисленных уравнений.

Пример 9. Ваня купил раков вчера мелких по цене 5,10 руб. за штуку, а сегодня по 9,90 руб., но очень крупных. Всего на покупку он истратил 252 руб., из них переплаты из-за отсутствия сдачи составили от 1,60 до 2 руб. Сколько Ваня купил раков вчера и сколько сегодня? [23]

Решение. Переведем все числа из рублей в копейки для того, чтобы они стали целыми. Получаем: 510 коп., 990 коп., 25 200 коп., 160 коп., 200 коп. Пусть Ваня вчера купил x раков, а сегодня – y раков (x, y?N).

Тогда получаем уравнение: 510x + 990y = z, где z – общая сумма денег, потраченная на покупку раков (z∈N). Для того, чтобы уравнение имело решения, нужно НОД (510, 990) = d,z⋮d(по достаточному признаку решения линейных целочисленных уравнений).

НОД (510, 990) = 30, т.к. 510 = 2·5·17·3, 990 = 2·5·11·9. Так как Ваня заплатил за раков 25 200 копеек, и переплата из них составила от 160 до 200 коп., то z лежит в промежутке от 25 000 до 25 040 (причем z?N). Так как число 30 = 2·3·5, то переплату и общую сумму денег, потраченную на раков, можно сократить в 10 раз. Получаем, что переплата лежит в промежутке от 16 до 20, значит, общая сумма денег лежит в промежутке от 2500 до 2504 (все рассматриваемые промежутки состоят только из натуральных чисел).

Подбором из промежутка 2 500, 2 504, в который входят натуральные числа, находим число, делящееся на 3 – это число равно 2 502. Преобразуем его: 510x + 990y = 25 020 ↔ 17x + 99y = 834 (*).

Применим для полученного уравнения алгоритм решения линейного целочисленного уравнения.

17x + 99y = 1, a = 17, b = 99; b = p0 a + r0 ;p0 = 1, r0 = 16. a= p1 r0 + r1 ;p1 = 1, r1 = 1. 1 = r1 = a – p1∩ r0 = a – p1r0 = a – p1·b – p0a.

Подставляем вместо p их значения. 1= 2a – b→x0 ' = 2, y0 ' = -1.

Частным решением уравнения (*) будут: x0 = 1668, y0 = - 834.

Общее решение: x = x0 - b·d·t = 1668 – 33t; y = y0 + a·d·t = -834 + 17t, где t – целое число.

Так как y – натуральное число, то y> 0.

Поэтому найдем t, при котором y> 0. -834 + 17t> 0 →t> 83417 →t≥ 50, т.к. t – целое число. При t= 50, x = 18, y = 16.

Больше, чем 50, число t быть не может, т.к. тогда x будет отрицательным числом, а по условию оно натуральное.

Ответ: 18, 16.

Пример 10. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них18 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. [11]

Решение. Пусть х – количество кроликов, у –количество фазанов, тогда имеем уравнение4x + 2y = 18 или 2x + y = 9. Если x = 1, то y = 7. Если x = 2, то y = 5. Если x = 3, то y = 3. Если x = 4, то y = 1. При x = 5 получаем 2 ⋅ 5 = 10 > 9.

Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1).

Пример 11. Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и160 кг. Сколько было контейнеров первого исколько второго вида, если вместе они весят 3тонны? Укажите все решения. [15]

Решение. Обозначим количество контейнеров первого вида через х, второго – через у.

Получаем уравнение 130x + 160y = 3000 или 13x + 16y = 300.

Далее имеем 13x + 13y + 3y = 13·23+1, 3y – 1 = 13(23 – x – y).

Отсюда следует, что разность 3y – 1делится на 13.

Если 3y – 1 = 0, то yне является натуральным числом.

Если 3y – 1 = 13, то y не является натуральным числом.

Если 3y – 1 = 26, то y = 9 и x = 12.

Если 3y – 1 = 39, то y не является натуральным числом.

Если 3y – 1 = 52, то y не является натуральным числом.

Если 3y – 1 = 65, то y = 22, но 16·22 = 352>300.

Ответ: 12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг.

В ходе исследования нами был проведен обзор учебников школьной программы, разработана программа элективного курса для учащихся 10 – 11 класса, выделены типы заданий 19 из ресурсов [11], [15], [21].

Нами рассмотрены следующие типы: делимость целых чисел; НОД и НОК; разные текстовые задачи на числа. Для обучения школьников решать данные типы задания 19 предложены задания, которые могут рассматриваться в рамках факультативного курса по подготовке к ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Всего рассмотрено 11 заданий с решением для совместного обсуждения с учителем. Контроль за выполнением данных заданий предполагается организовать в дистанционной форме. В процессе выполнения работы была достигнута поставленная цель – выявить глубину изучения элементов теории чисел в школьном курсе математики и разработать программу элективного курса для учащихся 10 –11 класса, организована система подготовки школьников к решению задания 19 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Решены сформулированные в начале исследования задачи:

1. Описано математическое содержание темы «Элементы теории чисел в школьном курсе математики».

2. Проанализированы учебные программы и учебники по математике.

3. Разработана программа элективного курса и циклы задач по элементам теории чисел, реализующие внутрипредметные связи данной темы с основными темами школьного курса алгебры. Результаты данной работы могут быть применены учителями математики при проведении факультативных занятий со школьниками 10-11- х классов в процессе подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень), а также студентами математических факультетов в период прохождения педагогической практики.

Setup.ru: Создай и раскрути свой сайт бесплатно