Рефераты, контрольные, курсовые, дипломы в Плавске и по всей России
Рефераты, контрольные, курсовые, дипломы в Плавске и по всей России
Доклад
Глава 1. Теоретический анализ проблемы неоднородности данных в регрессионном анализе
Задача регрессионного анализа состоит в построении модели, позволяющей по значениям независимых показателей получать оценки значений зависимой переменной. Регрессионный анализ является основным средством исследования зависимостей между социально-экономическими переменными.
Возможность одновременного изучения неограниченного количества объектов, а также «прозрачность» техники создали ему репутацию надежного инструмента анализа.
Сильная сторона метода состоит в том, что он направлен не просто на изучение изменений, но на сведение причины и следствия. Иначе говоря, регрессионный анализ отвечает на вопрос: «Влияет ли одна или несколько переменных (потенциальных причин) на другую переменную (результат) и, если да, то в какой степени?».
В данном случае мы ограничимся введением в регрессионное моделирование и рассмотрим наиболее простую модель регрессии – линейную.
Цель регрессионного анализа – установление вида и параметров аналитической зависимости математического ожидания М(у) от уровней одного им нескольких факторов Х, когда результаты эксперимента представлены в виде независимой выборки пар x1y1; x2y2; …; xnyn.
Искомая функция называется моделью регрессионного анализа или регрессионной моделью Y на Х.
Коэффициенты регрессии – параметры установленной регрессионной модели.
Особенность построения регрессионной модели состоит в том, что наличие случайных ошибок измерения (т.е. наличие «шума» в эксперименте) делает неразумным подбор такой формулы, которая точно описывала бы все опытные данные. Другими словами, график искомой функции не должен проходить через все экспериментальные точки (Рис. 1), а должен сглаживать «шум». Основные допущения регрессионного анализа:
1. Отклик Y – случайная величина с нормальным законом распределения. При большом объеме экспериментальных исследований гипотеза о нормальности распределения можно проверить используя критерий х2. Нарушение нормальности распределения величины Y может привести к получению численных оценок, за которыми ничего не стоит.
Рисунок 1 - Пример «сглаживания» экспериментальных данных.
2. Дисперсия Y не зависит от ее абсолютной величины. Т.е. погрешность измерения величины отклика подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным нулю. Верны гипотеза однородности дисперсии в разных точках факторного пространства.
3. Значения факторов неслучайные величины, некоррелированны между собой. Обозначим выбранную функциональную зависимость в виде:
y= f (x, a0, a1, …, an),
где a0, a1, …, an – параметры регрессионной модели, подлежащие определению.
Если нет теоретических соображений о виде регрессионной модели, то ее представляют в виде полинома: y = 
, в случае линейной модели: y = a0 + a1x , в виде степенного ряда, в виде тригонометрического ряда, в виде суммы ортогональных многочленов Чебышева.
Для нахождения параметров регрессионной модели используют метод наименьших квадратов.
Содержание метода наименьших квадратов. Поиск параметров регрессионной модели состоит в нахождении минимума следующей функции: 
– для случая если все 
измерены с одинаковой точностью, или: 
- для случая неравноточных измерений, где 
– веса измерений.
Если все измерения отклика проведены с одинаковой точностью, но при различном числе измерений 
при каждом значении , то весами измерений могут служить количества измерений в сериях 
(к=1,2,…,N)/
Минимум функции S означает равенство нулю всех частных первых производных данной функции:
Таким образом, для (n+1) неизвестного имеем систему (n+1) уравнений.
Если в регрессионную модель параметры 
входят линейно, то последняя система уравнений будет также линейна относительно этих параметров.
В ходе сбора исходных статистических данных для проведения регрессионного анализа может оказаться, что значения измеренных факторов (результативной и объясняющих переменных) зависит от некоторого качественного признака (одного или нескольких), в результате которого происходят скачкообразные движения структуры анализируемых связей, то есть значения оценок коэффициентов регрессии. Исходные статистические данные называются неоднородными в регрессионном смысле, если они зарегистрированы при различных условиях. Если не принимать во внимание отмеченные различия и попытаться строить единую модель, то, очевидно, что ее уравнению будет соответствовать линия, проходящая между линиями, характеризующими реальные тенденции процесса в рассматриваемом периоде.
Очевиден первый подход, который заключается в том, что мы разбиваем имеющиеся в нашем распоряжении исходные статистические данные на однородные группы (подвыборки), то есть на такие, внутри каждой из которых значение качественной переменной не меняется при переходе от одного наблюдения к другому.
Затем оцениваются значения коэффициентов регрессии по каждой из таких подвыборок.
Тогда для каждого фиксированного сочетания градаций качественной переменной будет определена своя однородная подвыборка объемом меньше 
, и каждой такой подвыборке будет соответствовать своя искомая функция регрессии.
Однако, данный подход не всегда дает наилучшее решение, а в определенных условиях вообще не может привести к удовлетворительному решения.
В случае, если качественные переменные не наблюдаемы, либо их значения не были своевременно зарегистрированы, то прямое разбиение выборки на регрессионные однородные подвыборки невозможно и с этой целью приходиться привлекать методы кластерного и дискриминантного анализа в пространстве 
.
Если качественный признак наблюдаем, но прямое разбиение выборки на регрессионные однородные группы приводит к слишком малым подвыборкам, то есть к таким подвыборкам, объем которых оказывается недостаточным для статистической надежности оценки искомой функции регрессии, то в этом случае используется поход, связанный с введением фиктивных переменных (манекенов).
Учет влияния качественных переменных в этом случае осуществляют с помощью введения в регрессионное уравнение определенного числа фиктивных переменных, которых могут принимать одно из двух возможных значений:
Если качественный признак имеет «l» уровней, то число вводимых фиктивных переменных должно быть на единицу меньше, т.е. (l-1), при этом каждая из фиктивных переменных принимает значение 0 или
Использование этого приема в большинстве случаев оказывается удобным и выгодным в двух отношениях:
Список литературы