Понятие числа
СОДЕРЖАНИЕ
- Введение
- Об истории возникновения понятий натурального числа и нуля
- Порядковые и количественные натуральные числа
- Счёт
- Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля
- Заключение
Введение
Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании.
Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь.
Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.
Об истории возникновения понятий натурального числа и нуля
С появлением землевладения и торговли у человека появилась необходимость в счёте, вначале считали на пальцах рук и ног, затем появлялись первые цифры, постепенно перерастающие во множество натуральных чисел.
Первыми придумали запись цифр древние шумеры - народ, населявший территорию долины рек Тигра и Евфрата на юге современного государства Ирак.
В то время шумеры пользовались лишь двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять. Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно. Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета. Древние индийцы впервые в 5 веке изобрели для каждой цифры свой знак. Они также открыли понятие «нуля» (шунья). Именно от них пошла десятичная система исчисления, которой мы пользуемся.
Арабы были первыми, кто заимствовал цифры у индийцев, и привез их в Европу в 10 веке. Ноль называли «сифра».
С тех пор и появилось слово «цифра». Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века.
До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над буквами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа. Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике Боэций (480 – 524 гг.).
Но еще в 1 половине 2 века греческий математик Никомах говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. О числах первый начал рассуждать Пифагор.
Пифагор и его ученики сократили все числа до цифр от 1 до 9, так как считали их исходными, из которых могут быть получены все другие числа. В 3 веке до н.э.
Архимед научился называть громадные числа, но обозначить он их не сумел: не хватало только знака нуля.
Долгое время натуральный ряд считался конечным. В Древней Руси, например, число 10000, названное «тьма», считалось самым большим, завершающим ряд натуральных чисел.
Архимед в III в. до н.э в своей книге «Исчисление песчинок» опроверг ложное мнение людей о том, будто бы число песчинок на земле столь велико, что его нельзя выразить, а числа большие этого и вообще якобы не существуют.
А также доказал, что ряд натуральных чисел бесконечен. На первых ступенях развития, понятие числа определялось потребностями счета и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека.
Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки.
Порядковые и количественные натуральные числа
В основу теории положены понятия конечного множества и взаимно-однозначного соответствия.
Два конечных множества А и В называются равномощными, или равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Отношение «Множество А равночисленно множеству В» рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Следовательно, отношение равночисленности является отношением эквивалентности и определяет разбиение совокупности всех конечных множеств на классы эквивалентности.
В одном классе содержатся самые различные множества; общим для всех их является то, что все они равночисленны, то есть содержат одинаковое количество элементов.
Например, в классе, содержащем множество {а; b}, содержатся такие множества, как множество глаз у человека, множество крыльев у птицы, множество диагоналей квадрата и так далее.
Натуральным числом называется общее свойство класса непустых конечных, равномощных (эквивалентных) друг другу множеств. Этим общим свойством является численность множеств.
Каждое множество равнозначно только одному. Если при повторном пересчете объекта получаются различные результаты, это означает ошибку счета.
Поскольку число обозначает количественную характеристику множества, его называют — количественное или реальное число. Если человек хотим получить ответ на вопрос «Сколько?», речь идет о количественном числе.)
При счете элементов множества происходит процесс нумерации. Счет — это процесс упорядочивания множеств путем присвоения каждому элементу определенного номера.
В этом случае натуральное число обозначает собой порядковый номер некоторого элемента и называется в силу этого числом порядковым. Эти две роли натурального числа нашли отражение в русском языке: порядковые натуральные выражаются порядковыми числительными — первый, второй третий т. д.; количественные — количественными числительными один, два и т. д.
Счёт
Счет — основной источник получения натурального числа в начальной школе.
Счётная деятельность (счёт) – это действия с конкретными множествами; это установление взаимно однозначного соответствия между числами натурального ряда и элементами множества. Простое называние числительных счётом не является. Как и любая другая деятельность имеет 3 признака:
- цель – сосчитать
- средства – как считать (в каждой возрастной группе свои)
- результат – итоговое число.
Математический счёт — это действие, позволяющее определить количество чего-либо. Счёт может быть количественным или порядковым.
Количественный счёт — это определение количества предметов. Количественный счёт позволяет ответить на вопрос сколько?
Например, чтобы узнать количество парт в классе или сколько деревьев растёт в саду, необходимо их сосчитать.
Количественный счёт заключается в том, что, отделяя каждый раз один предмет за другим (на самом деле или только мысленно), мы называем количество отделённых предметов.
Например, считая парты в классе, мы мысленно отделяем одну парту за другой и говорим: один, два, три, четыре, пять и т. д.
Если при отделении последней парты мы сказали, например, восемь, значит, в классе всего восемь парт. Число восемь в этом случае является результатом счёта.
Результат счёта — это количество предметов, полученное в результате их счёта.
Результат счёта не зависит от того порядка, в каком считаются предметы.
Так, считая парты в классе, мы получим одно и то же число независимо от того, считаем ли мы от передних парт к задним или наоборот — от задних к передним.
Важно только, чтобы при подсчёте парт, ни одна парта не была пропущена и ни одна не сосчитана два раза.
Число, при котором есть наименование тех единиц, от счёта которых оно получилось, называется именованным.
В нашем случае, так как мы считали парты, число восемь является именованным (восемь парт).
Число, у которого отсутствует наименование единиц, называется отвлечённым.
Порядковый счёт — это определение количества предметов и место каждого предмета относительно других.
Порядковый счёт позволяет ответить на вопрос какой? (например, какой по счёту? или какой по порядку?).
Например, для определения количества карандашей можно воспользоваться количественным счётом и посчитать карандаши в любом порядке: но если нужно узнать какой по счёту зелёный карандаш, то следует воспользоваться порядковым счётом.
В этом случае каждый карандаш получает номер, указывающий каким по счёту он идёт: так как карандаши расположены друг за другом, то зелёный карандаш будет третьим, если считать слева направо, и четвёртым, если считать справа налево.
При порядковом счёте, если считаются все предметы, то результатом счёта будет номер, указывающий порядок последнего посчитанного предмета. В нашем случае, так как последний посчитанный карандаш является шестым, то и общее количество предметов равно шести.
Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля
С теоретико-множественной точки зрения количественное натуральное число - это общее свойство класса непустых конечных равномощных друг другу множеств. Ноль - это количественная характеристика пустого множества, 0=n.
Отрезок натурального ряда. Пусть а - натуральное число, тогда множество всех натуральных чисел, не превосходящих числа а, называют отрезком натурального ряда и обозначают Na.
Пересчитать элементы конечного множества X - это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством X и отрезком натурального ряда Na, число а будет называться числом элементов в множестве X и обозначаться n(X) = а. Правила пересчета:
- начинать пересчет можно с любого элемента множества,
- ни один элемент не должен быть пропущен,
- каждый элемент считают только один раз.
Количественное натуральное число отвечает на вопрос «сколько элементов в множестве?» и выражается числительными «один», «два», «три», и т.д.
Порядковое натуральное число отвечает на вопрос «которым по счету является данный элемент в множестве?» и выражается числительными «первый», «второй», «третий» и т.д.
Равные натуральные числа. Натуральные числа а и b называются равными, если они являются характеристиками равномощных множеств. a=b n(A)=n(B), n(A)=a, n(B)=b, A B. Свойства отношения равенства на N.
1) рефлексивность (aN), a=a
2) симметричность (a,bN), если a=b, тоb=a
3) транзитивность а,b,cN), если а=b, b=с, то а=с
Заключение
Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Список литературы
- Безрукова Г.В. Организация устного счета на уроках математики // Вестник научных конференций. 2018. №6-2. С. 23-24
- Локшин А. А., Иванова Е. А. Какое число важнее - порядковое или количественное? // Школа будущего. 2017. №4. С. 29-32
- Мишакина Л.А. Формирование представлений о числе и счете у детей старшего дошкольного возраста в игровой деятельности // Вопросы педагогики. 2020. №5-2. С. 280-285
- Хоренко И.А. Устный счет на уроках математики // Актуальные проблемы математического образования в школе и ВУЗе: статья в сборнике трудов конференции. – Барнаул. 2019. С. 129-131
