Главная БЕСПЛАТНО

Математика

При каких значениях ? точки ?(1,?,0); ?(−1,2,1); ?(0,1,1); ?(−1,1,2) лежат в одной плоскости.

Решение

Если все 4 точки лежат в одной плоскости, то векторы ВС = (1,-1,0), ВD = (0,-1,1), ВА = (2, x-2, -1) компланарны, т. е. определитель, составленный из их координат, равен нулю.

X=1

Решить систему методом Гаусса:

Решение:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1	2	-1
0	1	-3
0	2	-1

-2

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

1	2	-1
0	1	-3
0	2	-1

-2

Работаем со столбцом №1
Добавим 3-ю строку к 2-й:

1	2	-1	2
0	1	-3	-2
0	3	-4	-1

Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ю строку на (k = -3 / 1 = -3) и добавим к 3-й:

1	2	-1	2
0	1	-3	-2
0	0	5	5

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

1	2	-1
0	1	-3
0	0	1

-2

Теперь исходную систему можно записать как:
x₁ = 2 - (2x₂ - x₃)
x₂ = -2 - ( - 3x₃)
x₃ = 1
Из 3-ой строки выражаем x₃
x₃ = 1
Из 2-ой строки выражаем x₂
x₂ = -2 - (-3)•1 = 1
Из 1-ой строки выражаем x₁
x₁ = 2 - 2•1 - (-1)•1 = 1

Найти собственные значения и собственные вектора матрицы:

Решение:

Собственные числа матрицы.
Исходная матрица имеет вид:

1	2
2	4

Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1 - λ)x₁ + 2x₂ = 0
2x₁ + (4 - λ)x₂ = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

1 - λ	2
2	4 - λ

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
((1 - λ) • (4 - λ)-2 • 2) = 0
После преобразований, получаем:
λ² -5 λ + 0 = 0
D=(-5)² - 4*1*0=25
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\lambda%20_%7b1%7d%20=%20\frac%7b-(-5)%2B5%7d%7b2\cdot%201%7d%20=%205$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\lambda%20_%7b2%7d%20=%20\frac%7b-(-5)-5%7d%7b2\cdot%201%7d%20=%200$
-4x₁ + 2y₁ = 0
2x₁-1y₁ = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ₁ = 5 при x₁ = 1:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\overline%7bx_%7b1%7d%7d=(1,%202).$
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\overline%7bi%7d_%7b1%7d%20=%20(\frac%7b1%7d%7b\sqrt%7b5%7d%7d;%20\frac%7b2%7d%7b\sqrt%7b5%7d%7d)$
где
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\sqrt%7b1%5e%7b2%7d%20%2B%202%5e%7b2%7d%7d%20=%20\sqrt%7b5%7d$
длина вектора x₁.
или
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\overline%7bi%7d_%7b1%7d%20=%20(\frac%7b1%7d%7b\sqrt%7b5%7d%7d;%202\frac%7b1%7d%7b\sqrt%7b5%7d%7d)$

Найти точку пересечения прямой и плоскости:

и ? +2? +3? −14 = 0.

Решение.

Запишем параметрическое уравнение прямой l:

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

2-t + 2(3-t) + 3(4t-1)-14 = 0

2+6-3-14+12t-t-2t = 0

9t = 9

Отсюда: t=1

Подставим это значение в параметрическое уравнение прямой l:

Таким образом точка пересечения прямой l и плоскости α имеет координаты (1;2;3)

Ответ: (1;2;3).

Вычислить предел:
Вычислить предел:

Вычислить производную: , при х=2

При х=2, получаем

Вычислить производную: ? = ?²^?⁺¹, при ? = 1

При х=1, получаем ?’ = (?²^?⁺¹ )’= 3

Составить параметрическое и каноническое уравнение прямой, проходящей через точки ?(1,2,0); ?(2,3,1)

Решение:

Составим каноническое уравнение прямой

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:

x - x_a	=	y - y_a	=	z - z_a
x_b - x_a	=	y_b - y_a	=	z_b - z_a

Подставим в формулу координаты точек:

x - 1	=	y - 2	=	z - 0
2 - 1	=	3 - 2	=	1 - 0

В итоге получено каноническое уравнение прямой:

x - 1	=	y - 2	=	z
1	=	1	=	1

Составим параметрическое уравнение прямой

Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:

	x = l t + x₁
	y = m t + y₁
	z = n t + z₁

где:

{l; m; n} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AB;
(x₁, y₁, z₁) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.

= {x_b - x_a; y_b - y_a; z_b - z_a} = {	2	-	1	;	3	-	2	;	1	-	0	} = {	1	;	1	;	1	}

В итоге получено параметрическое уравнение прямой:

	x = t + 1
	y = t + 2
	z = t

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах ? ̅(1;0;1) и ? ̅(3;0;2).

Решение:

S =

Найдем векторное произведение векторов:
= = i (0·2 - 1·0) - j (1·2 - 1·3) + k (1·0 - 0·3) =

= i (0 - 0) - j (2 - 3) + k (0 - 0) =

= {0; 1; 0}

Найдем модуль вектора:

|| = √ c_x² + c_y² + c_z²= √0 + 1 + 0 = 1

Найдем площадь параллелограмма:

=		1

Setup.ru: Создай и раскрути свой сайт бесплатно