Рефераты, контрольные, курсовые, дипломы в Плавске и по всей России

  • Наши услуги и цены
  • Контакты
  • Каталог готовых работ
  • Бесплатные студенческие работы
  • Поиск
  • Для рекламодателей
  • Наши услуги и цены
  • Контакты
  • Каталог готовых работ
  • Бесплатные студенческие работы
  • Поиск
  • Для рекламодателей
Наша группа ВКонтакте и ОТЗЫВЫ Нюрнбергский процесс
Главная БЕСПЛАТНО

Математика

Контрольная работа

  1. При каких значениях ? точки ?(1,?,0); ?(−1,2,1); ?(0,1,1); ?(−1,1,2) лежат в одной плоскости.

Решение

Если все 4 точки лежат в одной плоскости, то векторы ВС = (1,-1,0), ВD = (0,-1,1), ВА = (2, x-2, -1) компланарны, т. е. определитель, составленный из их координат, равен нулю.

X=1

 

 

 

 

 

  1. Решить систему методом Гаусса:

 

Решение:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1

2

-1

0

1

-3

0

2

-1

 
 

2

-2

1

 


Для удобства вычислений поменяем строки местами:

1

2

-1

0

1

-3

0

2

-1

 
 

2

-2

1

 


Работаем со столбцом №1
Добавим 3-ю строку к 2-й:

1

2

-1

2

0

1

-3

-2

0

3

-4

-1


Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ю строку на (k = -3 / 1 = -3) и добавим к 3-й:

1

2

-1

2

0

1

-3

-2

0

0

5

5


Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

1

2

-1

0

1

-3

0

0

1

 
 

2

-2

1

 



 

Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = 2 - (2x2 - x3)
x2 = -2 - ( - 3x3)
x3 = 1
Из 3-ой строки выражаем x3
x3 = 1
Из 2-ой строки выражаем x2
x2 = -2 - (-3)•1 = 1
Из 1-ой строки выражаем x1
x1 = 2 - 2•1 - (-1)•1 = 1

 

 

 

  1. Найти собственные значения и собственные вектора матрицы:

 

Решение:

Собственные числа матрицы.
Исходная матрица имеет вид:

1

2

2

4

 


Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1 - λ)x1 + 2x2 = 0
2x1 + (4 - λ)x2 = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

1 - λ

2

2

4 - λ

 


Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
((1 - λ) • (4 - λ)-2 • 2) = 0
После преобразований, получаем:
λ2 -5 λ + 0 = 0
D=(-5)2 - 4*1*0=25
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\lambda%20_%7b1%7d%20=%20\frac%7b-(-5)%2B5%7d%7b2\cdot%201%7d%20=%205
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\lambda%20_%7b2%7d%20=%20\frac%7b-(-5)-5%7d%7b2\cdot%201%7d%20=%200
-4x1 + 2y1 = 0
2x1-1y1 = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = 5 при x1 = 1:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\overline%7bx_%7b1%7d%7d=(1,%202).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\overline%7bi%7d_%7b1%7d%20=%20(\frac%7b1%7d%7b\sqrt%7b5%7d%7d;%20\frac%7b2%7d%7b\sqrt%7b5%7d%7d)
где
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\sqrt%7b1%5e%7b2%7d%20%2B%202%5e%7b2%7d%7d%20=%20\sqrt%7b5%7d
длина вектора x1.
или
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\overline%7bi%7d_%7b1%7d%20=%20(\frac%7b1%7d%7b\sqrt%7b5%7d%7d;%202\frac%7b1%7d%7b\sqrt%7b5%7d%7d)

 

  1. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

  и ? +2? +3? −14 = 0.

 

Решение.

 

Запишем параметрическое уравнение прямой l:

 

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

2-t + 2(3-t) + 3(4t-1)-14 = 0

2+6-3-14+12t-t-2t = 0

9t = 9

Отсюда: t=1

Подставим это значение в параметрическое уравнение прямой l:

Таким образом точка пересечения прямой l и плоскости α имеет координаты (1;2;3)

 Ответ: (1;2;3).

 

 

 

  1. Вычислить предел:
  2. Вычислить предел:

 

  1. Вычислить производную: , при х=2

 

При х=2, получаем

 

 

 

  1. Вычислить производную: ? = ?2?+1, при  ? = 1

При х=1, получаем ?’ = (?2?+1 )’= 3

 

 

  1. Составить параметрическое и каноническое уравнение прямой, проходящей через точки ?(1,2,0);  ?(2,3,1)

 

Решение:

Составим каноническое уравнение прямой


Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:

x - xa

 = 

y - ya

 = 

z - za

xb - xa

yb - ya

zb - za

Подставим в формулу координаты точек:

x - 1

 = 

y - 2

 = 

z - 0

2 - 1

3 - 2

1 - 0

В итоге получено каноническое уравнение прямой:

x - 1

 = 

y - 2

 = 

z

1

1

1




Составим параметрическое уравнение прямой


Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:

http://onlinemschool.com/pictures/matrix/SS.png

x = l t + x1

y = m t + y1

z = n t + z1

где:

  • {l; m; n} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AB;
  • (x1, y1, z1) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.

 = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = {

2

 - 

1

; 

3

 - 

2

; 

1

 - 

0

} = {

1

; 

1

; 

1

}

 
 


В итоге получено параметрическое уравнение прямой:

http://onlinemschool.com/pictures/matrix/SS.png

x = t + 1

y = t + 2

z = t

 

 

  1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах ? ̅(1;0;1) и ? ̅(3;0;2).

 

Решение:

S = 

Найдем векторное произведение векторов:
 = = i (0·2 - 1·0) - j (1·2 - 1·3) + k (1·0 - 0·3) =

= i (0 - 0) - j (2 - 3) + k (0 - 0) = 

 = {0; 1; 0}

Найдем модуль вектора:

|| = √ cx2 + cy2 + cz2= √0 + 1 + 0 =  1

Найдем площадь параллелограмма:

S

 = 

 

1

 
 
 
 

 

 


flexsmm.comSetup.ru: Создай и раскрути свой сайт бесплатно

г. Плавск

 

les5125@yandex.ru

© эллалесная.рф
Яндекс.Метрика