Финансовая математика

Финансовая математика

Модуль 1

Тема 1. «Простые декурсивные и антисипативные проценты»

 

Задача 1. Вклад до востребования был размещен с 10 января по 14 апреля того же года. Рассчитайте двумя способами (прибли­женно и точно) количество дней, которое может быть использо­вано для начисления процентов, если год:

а) високосный;

б) не­високосный.

Выполните аналогичные расчеты, если вклад до востребования был размещен с 18 марта по 26 июля.

Решение:

• Вклад до востребования с 10 января по 14 апреля того же года

Число дней ссуды приближенно. В этом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням. День выдачи и день погашения считаются за один день.

Количество дней, которое может быть использо­вано для начисления процентов, если год:

 а) високосный – 93 дня

 б) не­високосный – 92 дня;

Число дней ссуды точно. Во втором варианте точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. Количество дней, которое может быть использо­вано для начисления процентов, если год:

 а) високосный – 95 дней

 б) не­високосный – 94 дня

• Вклад до востребования с 18 марта по 26 июля того же года

Число дней ссуды приближенно. Количество дней, которое может быть использо­вано для начисления процентов, не зависимо какой год, так как дата, влияющая на данный признак, не попадает на заданный период, равен 128 дням.

Число дней ссуды точно. Количество дней, которое может быть использо­вано для начисления процентов, равно 130 дням.

 

Задача 2. Предоставлена ссуда в размере 180 тыс. руб. 16 янва­ря с погашением через 9 месяцев под 25% годовых (год не висо­косный). Рассчитайте сумму к погашению при различных спо­собах начисления простых процентов: а) обыкновенный процент с точным числом дней; б) обыкновенный процент с приближен­ным числом дней; в) точный процент с точным числом дней.

Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся формулой наращения капитала по простой ставке ссудного процента:

Наращенная сумма, таким образом, находится как

S = Р + I = Р + Pni = Р(1 + ni).

где    S — наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

 Р — первоначальная сумма долга;

 I — проценты за весь срок ссуды;

i — ставка наращения процентов (десятичная дробь);

         n — срок ссуды.
а) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, называют банковским (Banker’s Rule), он обозначается, как 365/360 или АСТ/360

Точное количество дней  (рассчитанное по финансовым таблицам):
 t = 289 –16 = 273 дня,
Рассчитаем сумму к погашению: S = 180000,0 * (1+ 0,25*273/360)  = 214124,99 руб.

б) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, метод условно обозначается как 360/360:
Приближенное количество дней: t = 268 дней,
Рассчитаем сумму к погашению: S = 180000,0 * (1+ 0,25*268/360)  = 213499,99 руб.

в) Точные проценты с точным числом дней ссуды, обозначается как 365/365:
t=273 дня, получим: S = 180000,0 * (1+ 0,25*273/365)  = 213657,53 руб.

 

Задача 3. Имеются две денежные суммы, одна из которых боль­ше другой на 2 тыс. руб. Обе суммы помещаются в банк под простые проценты, причем большая сумма - на 9 месяцев под 30% годовых, а меньшая - на 4 месяца под 25% годовых. На­численные проценты за большую сумму в 3 раза больше начис­ленных процентов за меньшую сумму. Найдите размеры перво­начальных денежных сумм.

Решение:

Пусть одна из сумм будет Х, тогда вторая будет Х+2 тыс. руб.,

S1 = Х(1 + 0,25*4/12)

S2 = (Х+2000) *(1 + 0,3*9/12)

Проценты в первом случае равны Х * (0,25* )

Проценты второй суммы равны (Х+2) * (0,3 * )

Учитывая, что проценты с большей суммы в 3 раза больше процентов меньшей, составим уравнение:

Х * 3* (0,25* ) = (Х+2) * (0,3 * )

Х = (Х+2) *

Х = Х +

Х - Х = 

Х =  = 18 тыс. руб.

Ответ: Размеры перво­начальных денежных сумм равны 18 тыс. руб. и 20 тыс. руб.

 

Задача 4. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 60 тыс. руб. со сроком погашения 21 октября текущего года. Вексель предъявлен 3 октября. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 26% годовых. Определите сумму, кото­рую векселедержатель получит от банка, и величину комисси­онных, удерживаемых банком в свою пользу за предоставлен­ную услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя по учетной ставке 26% имеет смысл?

Решение:

По формуле определения величины

P = F * (1-n * d)

где    P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);

F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

n- количество периодов продолжительности финансовой операции;

d-простая учетная ставка;

при F = 60000,0 руб.; n = 18/365, d = 0,26 получим:

Р = 60000,0 × (1-0,26 ×18/365)=59230,68 руб.

Комиссионные банка (или дисконт) определяются по формуле D= F - P

D= F - P= 60 -59,231 = 0,769 тыс. руб.

Ответ: Векселедержатель получит от банка 59,231 тыс. руб. Комиссионные, удерживаемые банком за свою услугу, равны 769 руб. Учет векселя по учетной ставке имеет смысл при n<1/d, для этой задачи при n< 3,85 года. При n>3,85 года сумма Р, которую должен получить владелец векселя при его учете, становится отрицательной.

 

Задача 5. Банк 9 июня учел два векселя со сроками погашения соответственно 29 июня и 23 июля того же года. Применяя учетную ставку 30% годовых, банк выплатил клиентам в общей сложности 34,216 руб. Определите номинальную стоимость первого векселя, если второй вексель предъявлен на сумму 10 тыс. руб.

Решение:

Используем формулу P = F * (1-n * d)

При этом F2 = 10 тыс. руб.

n1 = 20/365

n2 = 44/365

F1 –  обозначим неизвестным – X

Тогда при условии, что в общей сложности по двум векселям выдана сумма 34,216 тыс. рублей, составим уравнение:

Х * (1- 0,3 * 20/365) +10 * (1- 0,3* 44/365) = 34,216

Х * (1- 0,016) +10 * (1- 0,036) = 34,216

Х * 0,9836 +10 * 0,9638 = 34,216

Х * 0,9836 = 34,216 - 9,638

Х = 24,989 тыс. руб.

Ответ: Номинальная стоимость первого учтенного векселя равна 24989 руб.

 

Задача 6. Вексель на сумму 15 тыс. руб., выданный 3 апреля со сроком погашения 10 августа, был учтен в банке 11 июля по учетной ставке 26% годовых способом 365/360. На номиналь­ную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 32% годовых способом 365/365. Найдите сумму, полученную векселедержателем.

Решение:

Поскольку на 15 тыс. руб. начисляются простые проценты за 129 дней (срок с 3 апреля по 10 августа, 222 – 93 = 129), то вначале по формуле находим сумму, которая должна быть выплачена предъявителю векселя при его погашении:
F =

Поскольку вексель был учтен за 30 дней до срока погашения (222 -192 = 30), то по формуле дисконтирования по простой учетной ставке,

Р = F*(1- n*d) , векселедержатель получит сумму:

P =
Ответ: Векседержатель получит 16,334 тыс. руб.

 

 

 

Тема 2. «Сложные декурсивные и антисипативные проценты»

 

Задача 1. Сумма 24 тыс. руб. инвестируется под процентную ставку 30% годовых: а) на 4 года; б) на 10 лет. Найдите нара­щенные суммы при условии ежегодного начисления сложных и простых процентов.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой наращения капитала по сложной ставке ссудного процента:

Наращенная сумма, таким образом, находится как

S = Р*(1 + i)ⁿ ,

где    S — наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

 Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

n — срок, число лет наращения,

 i — уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.

Найдем нара­щенные суммы при условии ежегодного начисления сложных процентов:

а) на 4 года: S = 24000 *(1 + 0,3)⁴  = 24000 * 2,8561 = 68546,4 руб.

б) на 10 лет: S = 24000 *(1 + 0,3)¹⁰  = 24000 * 13,7858 = 330859,2 руб.

Найдем нара­щенные суммы при условии ежегодного начисления простых процентов:

а) на 4 года: S = 24000 *(1 + 0,3*4)  = 24000 * 2,2 = 52800,0 руб.

б) на 10 лет: S = 24000 *(1 + 0,3*10)  = 24000 * 4 = 96000,0 руб.

 

Задача 2. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 30 тыс. руб. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первых двух лет процентная ставка равна 22% годовых, на следующие три года устанавливается маржа в размере 0,5% и на последую­щие годы маржа равна 0,8%. Найдите сумму, которую предпри­ниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды при ежегодном начислении сложных процентов.

Решение:

P = 30000,0 рублей

i₁ = 0,22, n₁ = 2

i₂ = 0,225, n₂ = 3

i₃ = 0,228, n₃ = 2

Сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды, находим при начислении сложных процентов ежегодно по формуле:

S =

где    i₁, i₂, i₃— последовательные значения ставок; n₁, n₂, n₃  — периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.

S(7) = 30000(1 + 0,22)²* (1 + 0,225)³  * (1 + 0,228)²  = 30000 * 1,4884 * 1,83826 * 1,507984 = 123778,32 тыс. руб.

Ответ: сумма, которую предпри­ниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды при ежегодном начислении сложных процентов равна 123778,32 руб.

 

Задача 3. Вы делаете вклад в банк в размере 14 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 32% годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов производится по схеме сложных и простых процентов:

а) ежегодно;

б) каждые полгода?

Решение:

Выполняем расчеты по схеме простых процентов:

а) при ежегодном начислении:

S = Р(1 + ni) = 14000* (1+ 0,32 * 5) = 14000 * 2,6 = 36400,0 рублей

б) При начислении каждые полгода:

S=P(1+n*T*i/T) ,

где    T - количество начислений в году, в данном случае 2

S=P(1+5*2*0,32/2) = 36400,0 рублей

Выполняем расчеты по схеме сложных процентов:

а) при ежегодном начислении:

S = P (1+i)ⁿ

S=14000(1+0,32)⁵ = 14000,0 * 4,00746 = 56104,5 руб.

б) При начислении каждые полгода:

S = P(1+i/T) ^(n*T),

S = 14000 * (1+0,32/2)¹⁰ = 14000,0 * 4,411435 = 61760,09 руб.

 

Задача 4. За какой срок исходная сумма 20 тыс. руб. возрастет до 60 тыс. руб., если сложные проценты по процентной ставке 28% годовых начисляются:

а) ежегодно;

б) ежеквартально;

в) ежеме­сячно?

Решение:

Для определения срока используем формулу продолжительности ссуды, при начислении сложных процентов:

n = , - для ежегодного начисления

n = , - для начисления периодами, где m – количество начислений в году.

а) Определим срок увеличения ссуды при ежегодном начислении процентов:

n =  =  = 4,45 года,

б) Определим срок увеличения ссуды при ежеквартальном начислении процентов:

n =  =  = 4,06 года

в) Определим срок увеличения ссуды при ежеквартальном начислении процентов:

n =  =  = 4,03 года

Ответ: Из расчетов видно, что чем чаще начисление процентов, тем быстрее возрастет исходная сумма.

 

Задача 5. Вексель на сумму 100 тыс. руб. учитывается за 4 года до срока погашения. Составьте схему учета векселя по годам, если при этом используется сложная учетная ставка 20% годо­вых. Какую сумму предъявитель векселя?

Решение:

 Полученная при учете векселя сумма определяется по формуле:

Р =

где    S – номинальная стоимость векселя;

n – срок от момента учета до даты погашения векселя;

• nd) - дисконтный множитель.

S = 100 тыс. руб.

n = 4 года

d = 0,20

P  = 100 * (1- 0,20)⁴  = 207,36 тыс. руб.

Ответ: предъявитель векселя получит 207,36 тыс.руб.

 

Задача 6. Долговое обязательство на выплату 200 тыс. руб. со сроком погашения через 6 лет учтено за три года до срока. Оп­ределите полученную сумму, если производилось: а) полугодо­вое; 6) поквартальное; в) помесячное дисконтирование по номи­нальной учетной ставке 18% годовых.

Решение:

Вычисление наращенных сумм может производиться по полугодиям, кварталам, месяцам или дням. То есть сложные проценты могут начисляться m раз в году. В этих случаях годовую ставку I называют номинальной и на период   1/m— части года начисляются сложные проценты по i/m ставке, при этом число начислений за n лет составит mn.

 Тогда формула наращения сложных процентов будет иметь вид:

S =

где    Р - первоначальная (вкладываемая) сумма денег;

         i - номинальная годовая процентная ставка;

n - промежуток времени, измеряемый в годах, в течение которого начисляются проценты;

m- число начислений в году;

nm - общее число начисляемых процентов.

Во всех случаях полагаем n = 3, F_n = F₂ = 200 тыс. руб.

а) Так как m = 2, d^(m) =d⁽²⁾ = 0,18, то:

Р =  = 335,42 тыс. руб.

б) Поскольку т = 4, d^(m) = d⁽⁴⁾ = 0,18, то:

Р =  = 339,176 тыс. руб.

в) В этом случае т = 12, d^(m) = d⁽¹²⁾ = 0,18, поэтому:

Р =  = 341,828 тыс. руб.

Ответ: Сравнивая полученные результаты, видим, что с увеличением количества операций дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.

 

Тема 3. «Эквивалентность процентных ставок»

 

Задача 1. Предлагается поместить капитал: а) на 5 лет; б) на 3 года либо под сложную процентную ставку 18% с ежемесяч­ным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 24% годовых. Выясните, как выгоднее поступить.

Решение:
а) Чтобы сделать правильный выбор, необходимо найти для данной сложной процентной ставки 18% эквивалентную простую процентную ставку и сравнить ее с предлагаемой простой процентной ставкой 24%.

Используем формулу при n = 5, m = 12, r (12) = 0,18.

R= =  = 0,2886

Так как r = 28,86% больше 24%, то выгоднее на пять лет поместить капитал под сложную процентную ставку 28,86%.

б) Полагая n = 3, m = 12, r = 0,18, получим:

R= =  = 0,2364

Так как r = 23,64% меньше 24% простой процентной ставки, на три года поместить капитал под простую процентную ставку 24%.

Ответ: Из полученных расчетов делаем вывод, что из предложенных вариантов, выгоднее всего помещать свой капитал под сложную процентную ставку с ежемесячным начислением процентов, сроком на пять лет.

 

Задача 2. Банком выдан кредит на 9 месяцев под 26% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.

Решение:

Составим уравнение эквивалентности:

FV =    и FV =

где    FV - будущий капитал;

PV -текущий капитал;

i - номинальная процентная ставка;

d - учетная ставка;

m - количество начислений в год;

n - срок.

Откуда

1-nd =

d =

d =

или 22,95% годовых.

Ответ: эквивалентная простая учетная ставка будет равна 22,95% годовых.

 

Задача 3. Какой годовой процентной ставкой с ежегодным начис­лением сложных процентов можно заменить в контракте простую процентную ставку 34% годовых, чтобы финансовые последствия для сторон не изменились? Срок контракта - 450 дней, финансо­вый год равен 365 дней.

Решение:

Определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения:

где i_s и i — ставки простых и сложных процентов.

Решение приведенного выше равенства дает следующие соотношения эквивалентности:

i_s =

i =

По второй формуле получим эквивалентную сложную ставку:

i = 0,32837

Ответ: Годовая процентная ставка с ежегодным начис­лением сложных процентов, которой можно заменить в контракте простую процентную ставку без финансовых последствий равна 32,84%.

 

 

Контрольные задачи.

 

Задача 1. Вы получили ссуду 12 февраля на условиях начисления простых процентов. Взятую сумму с процентами необходимо вер­нуть 27 декабря того же года. Во сколько раз вырастет долг при различных способах начисления простых процентов, если приме­няется процентная ставка 32% годовых и год невисокосный?

Решение:

Наращивание по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:

S = ,

где    S – наращенная сумма,

P – первоначальная стоимость,

n – число периодов (лет),

i – годовая процентная ставка,

- множитель наращения.

 Так как по условию задачи срок определяется в днях, используем формулу для корректировки:

n =  ,

где t – число дней проведения операции,

K – временная база

Тогда формула наращивания принимает вид:

S =

 В результате конкретные расчеты по начислению процентов могут вестись по трем вариантам:

а) 360/360 – Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например, при промежуточных расчетах;

б) 365/360 – Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой;

в) 365/365 – Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ.

Определим число дней использования ссуды:

Точный срок ссуды – 318 дней. (361-43)

Приближенный срок ссуды – 313, (361-43-5)

 12 февраля – 43-й день в году, 27 декабря – 361-й день в году. И в данном периоде попадает 5 месяцев с 31 числом.

Находим множитель наращения для всех трех случаев:

а)  = 1,2782 или 27,82%

б)   = 1,2827 или 28,27%

в)   = 1,2788 или 27,88%

Ответ: При начислении обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды сумма долга увеличится на 27,82%, при начислении обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды на 28,27%, при начислении точных процентов с точным числом дней ссуды на 27,88%.

 

Задача 2. В банк 13 июля предъявлен для учета вексель, выдан­ный 4 мая того же года и со сроком погашения 1 сентября, при­чем на номинальную стоимость векселя предусматривалось на­числение простых процентов по процентной ставке 35% годо­вых способом 365/365. Банк для определения своих комиссион­ных при учете векселя применяет простую процентную ставку 40% годовых и способ 365/360. Определите номинальную стои­мость векселя, если величина общего дохода банка составила 3521 руб.

Решение:

По формуле

P = F * (1-n * d)

где    P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);

F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

n = ,

где    t — число дней ссуды,

К — число дней в году, или временная база начисления процентов (time basis).;

t – срок в днях с момента оформления до погашения ссуды векселя – 120 дней(244-124)

t_у - срок в днях с момента учета до срока погашения – 50 дней (244-194)

d-простая учетная ставка – 0,40%;

Выразим будущую стоимость векселя к погашению в срок:

P = F * (1-0,35 * 120/365)= 1,115F

Поскольку вексель был учтен за 50 дней до срока погашения, то по формуле дисконтирования по простой учетной ставке,

S = P*(1- n*d) ,

векселедержатель получит сумму:

S =

Доход банка при этом выражается формулой:

Р - S = 3521,0

1,115 F – 1,053F = 3521

F = 3521*0,062 = 56790,32 руб.

Ответ: Номинальная стои­мость векселя составляет 56790,32 рубля.

 

Задача 3. В долг на 3 года 6 месяцев предоставлена сумма 8 тыс. руб. с условием возврата 20 тыс. руб. Найдите эффектив­ную процентную ставку в этой финансовой сделке.

Решение:

Чтобы иметь возможность сравнивать эффективность сделок, осуществленных по разным схемам, используют эффективную ставку процентов, дающую тоже соотношение между начальным капиталом P и конечным S, что и принятая схема. Если известны платежи по простой операции и срок сделки, то находим выражение для определения эффективной ставки:

 

где S –наращенная сумма – 20 тыс. руб.,

 Р – предоставленная сумма -  8 тыс. руб.,

 n – количество лет по финансовой сделке – 3 года и 6 месяцев – 3,5 года.

 = 0,299 или 29,9%

Ответ: Эффектив­ная процентная ставка в этой финансовой сделке должна составлять 29,9% для выполнения заданных условий.

 

Задача 4. Вексель был учтен за 21 месяц до срока погашения, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на вексе­ле суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

Решение:

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

,

где    d – сложная годовая учетная ставка,       

S – дисконтируемая величина,

P – современная стоимость,

n – лет до срока погашения векселя.

По условию задачи дисконтирование происходит раз в год.

,

Отсюда  = 0,119716 или 11,97%

Ответ: Данный вексель был учтен по сложной годовой учетной ставке 11,97%.

 

Задача 5. Банк выдает ссуду под сложную процентную ставку 20% годовых. Какую номинальную годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился, если начисление процентов происходит:

а) по полугодиям;

б) каждые два месяца;

в) ежемесячно;

г) непрерывно.

Решение:

Определение номинальной ставки j по заданным значениям i и m :

,

где    j – номинальная ставка,

m – количество начислений в год,

 i – процентная ставка.

Рассчитаем номинальную годовую процентную ставку, которую должен установить банк, чтобы его доход не изменился с разной частотой начисления:

а) по полугодиям:  или 19,09%;

б) каждые два месяца:   или 18,51%;

в) ежемесячно:  или 18,37%;

г) Определяем номинальную ставку j по заданным значениям i и m®∞ для непрерывных процентов:

Формула наращения по непрерывным процентам имеет вид

 

Процентную ставку при непрерывном наращении называют силой роста и обозначают греческой буквой δ - дельта. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени.

= 0.18232 или 18,23%

Ответ: Номинальная годовая процентная ставка, при условии не изменения дохода, должна быть равна при начислении процентов:

а) по полугодиям – 19,09%,

б) каждые два месяца 18,51%,

в) ежемесячно 18,37%;

г) непрерывно 18,23

 

Список учебной литературы

 

• В.П. Кирлица" Финансовая математика. Руководство к решению задач" Минск, ТетраСистемс , 2005 г.
• Кочнева Л.Ф., Новосельцева В.И. Финансовая математика: Учебное пособие. - М.: МИИТ, 2013. -74 с.
• Финансовая математика: метод. указания и задания для самостоят. работы: в 3 ч. / [сост.: В.Д. Золотков, А.И. Матвеев, Е.А. Черноиванова] ; Саран. кооп. ин-т РУК. – Саранск, 2010. – Ч. 1. – 28 с.
• Четыркин, Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2006. 422 с

 

Задача 1

 

Вы получили ссуду 12 февраля на условиях начисления простых процентов. Взятую сумму с процентами необходимо вернуть 27 декабря того же года. Во сколько раз вырастет долг при различных способах начисления простых процентов, если применяется процентная ставка 32% годовых и год невисокосный?

Решение: Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему. Наращивание по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле

S = P (1 +i*n), (1)

где:   S – наращенная сумма,

P – первоначальная стоимость,

n -  число периодов (лет),

I – годовая процентная ставка.

Если продолжительность краткосрочной операции выражена в днях, то срок ее проведения корректируется следующим образом:

n = , (2)

где:   t – число дней проведения операции,

K – временнаябаза

В результате конкретные расчеты по начислению процентов могут вестись по трем вариантам:

1. 365/365 – точное число дней проведения операции и фактическое число дней в году (точные проценты);
2. 365/360 – точное число дней проведения операции и финансовый год (12 месяцев по 30 дней; обыкновенные проценты сточным числом дней ссуды);
3. 360/360 – приближенное число дней проведения операции (месяц принимается равным 30дням) и финансовый год (обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды).

Для одних и тех же условий начисления процентов проведение расчетов по этим вариантам приводит к несколько отличающимся финансовым последствиям.

Определим число дней использования ссуды: 12 февраля – 43-й день в году, 27 декабря – 361-й день в году. Отсюда точный срок ссуды – 318 дней. Тогда, находим:

будущую стоимость операции можно определить:

1. S = P (1 +0,32*318/365) = 1,279
2. S = P (1 +0,32*318/360) = 1,283
3. S = P (1 +0,32*315/360) = 1,280

Ответ: При начислении точных процентов сумма долга увеличится в 1,279 р., при начислении обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды в 1,283 р., при начислении обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды в 1,280 р.

 

Задача 2

 

В банк 13 июля предъявлен для учета вексель, выданный 4 мая того же года и со сроком погашения 1 сентября, причем на номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 35% годовых способом 365/365. Банк для определения своих комиссионных при учете векселя применяет простую процентную ставку 40% годовых и способ 365/360. Определите номинальную стоимость векселя, если величина общего дохода банка составила 3521 руб.

Решение: Определим время с момента оформления до момента погашения векселя:

t = 27+30+31+31 = 119 дней.

Определим время с момента оформления до момента учета векселя: ty= 27+30+12 = 69 дней. Определим будущую стоимость векселя к погашению:

1. S = P (1 +0,35*119/365) = 1,1141

Рассчитаем предлагаемую банком сумму:

2. P2 = (1.1141*P)*(1 -0.4*119-69/360) = 1.0522

Прибыль баланса по сделке: Прибыль = S–P2.

3521 = 1,1141P – 1,0522Р = 0,0619Р

Р = 56886,68

Ответ: Номинальная стоимость векселя составляет 56886,68 рублей

 

Задача 3

 

В долг на 3 года 6 месяцев предоставлена сумма 8 тыс. руб. с условием возврата 20 тыс. руб. Найдите эффективную процентную ставку в этой финансовой сделке.

Решение:

 - 1 = 0,2993 = 29,93%, (3)

где:  = 20000 руб наращенная сумма

 - эффективная процентная ставка

Р = 8000 руб. современная сумма

n - количество лет по финансовой сделке

Ответ: Эффективная процентная ставка по данной сделке составляет 29,93%

 

 

 

 

Задача 4

 

Вексель был учтен за 21 месяц до срока погашения, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

Решение: Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

P = S * , (4)

где:   d – сложная учетная ставка,

S – дисконтируемая величина,

P – современная стоимость,

k – лет до срока погашения векселя.

В нашем случае дисконтирование происходит один раз в году.

. отсюда d = 1- (5)

d = 1-

Ответ: Данный вексель был учтен по сложной годовой учетной ставке 11,97%

 

Задача 5

 

Банк выдает ссуду под сложную процентную ставку 20% годовых. Какую номинальную годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился, если начисление процентов происходит:

 а) по полугодиям;

б) каждые два месяца;

в) ежемесячно;

г) непрерывно.

Решение: Определение номинальной ставки j по заданным значениям i и m:

j = m ( (6)

где:   m – количество начислений в год,

i – процентная ставка,

j – номинальная ставка.

1.  по полугодиям j = 2 (
2. каждые два месяца j = 6 (
3. ежемесячно j = 12 (
4. Определение номинальной ставки j по заданным значениям i и m для непрерывных процентов:

i =  - 1, j =

Ответ: Чтобы доход банка не изменился, номинальную годовую процентную ставку нужно установить при начислении процентов: а) по полугодиям – 19,09%, б) каждые два месяца 18,51%, в) ежемесячно 18,37%; г) непрерывно 18,24%.

 

Задача 6

 

Страховая компания заключила договор с предприятием на три года, установив годовой страховой взнос в 6 тыс. руб. Страховые взносы помещаются в банк под сложную процентную ставку 25% годовых. Определите сумму, которую получит страховая компания по этому контракту, если взносы будут поступать: а) в конце каждого года; б) равными долями в конце каждого полугодия в размере 3 тыс. руб.; в) равными долями в конце каждого квартала в размере 1,5 тыс. руб. Учесть возможность использования и только сложных процентов, и смешанной схемы.

Решение.

а) в конце каждого года

, (7)

где:   FVn – будущая стоимость обыкновенного аннуитета,

CF – денежный поток.

 = 22875

б) равными долями в конце каждого полугодия в размере 3 тыс. руб. (сложные проценты):

 =

в) равными долями в конце каждого квартала в размере 1.5 тыс. руб (сложные проценты):

Смешанная схема применяется в том случае, если срок финансовой операции выражен не целым количеством лет. В нашем случае схема в данной задаче не применима.

В нашем случае n = 3 является целым числом, поэтому смешанная схема в данной задаче не применима.

Ответ: Страховая компания получит следующую сумму, если взносы будут поступать:

• в конце каждого года – 22 875 рублей,
• равными долями в конце каждого полугодия в размере 3 тыс. руб. – 24654,88 рублей;
• равными долями в конце каждого квартала в размере 1,5 тыс. руб. – 25677,36 рублей.

Задача 7

 

Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с ежеквартальной выплатой 4 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, и сложные проценты начисляются ежеквартально. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 4 года; в) через 5,5 года, а сложная процентная ставка равна 32% годовых?

Решение.

Периодом будем считать квартал. Число периодов n =10 * 4 = 40 . Ставка за период (квартал) будет равна 8%. Если выплаты начнутся немедленно, имеем дело с постоянным срочным аннуитетом постнумерандо. Если выплаты начнутся через 4 года или 5,5 лет, то имеем дело с постоянным отстроченным аннуитетом постнумерандо.

1. немедленно:

PVAn = CF() = 4000() = 47698,45

2. через 4 года (через 16 кварталов):

At = A*Vt = A* = 47698.45*13922,72 руб.

3. через 5.5 лет (через 22 квартала):

At = A*Vt = A* = 47698.45*8773,68 руб.

Ответ: Данную ренту можно приобрести по цене

• если выплаты начнутся немедленно – 47698,45 рублей,
• если выплаты начнутся через 4 года – 13922,72 рублей;
• если выплаты начнутся через 5,5 лет, то 8773,68 рублей

 

Задача 8

 

Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 400 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 80 тыс. руб. в банк под 32% годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально.

1. ежегодно

, n = n =  =3,44 лет

Поскольку начисление происходит раз в год, фонд в размере 400 тыс. руб. будет только после 4-х лет.

n =  = 3.35 лет

Поскольку начисление происходит ежеквартально, то фонд в размере 400 тыс. руб. будет создан после 3-х лет и 2-х кварталов.

Ответ: Если банк начисляет сложные проценты раз в год, то срок для создания фонда 400 тыс. руб. составит 4 года, если ежеквартально, то 3 года и 2 квартала.

 

Задача 9

 

Предприниматель хочет открыть счет в банке, положив такую сумму, чтобы его сын, являющийся студентом первого курса, мог снимать с этого счета в конце каждого года по 3600 руб., исчерпав весь вклад к концу пятилетнего срока обучения. Какой величины должна быть сумма, если банк начисляет сложные проценты по ставке 30% годовых?

Решение:

Определим сумму вклада, используя формулу:

PVAn = CF* = CF* = CF*( = 3600*( = 8768,05

где    R - сумма выплаты,

А - сумма на счете (начальная),

n - срок выплат,

m - количество начислений процентов за год,

j - процентная ставка,

р - количество выплат за год .

R = 3600, А = ?, n = 5, m = 1, j = 0,30, р = 1.

Ответ: 8768 руб. - сумма вклада при снятии денег в конце каждого месяца.

 

Задача 10

 

Перед выходом на пенсию господин N хочет обеспечить себе дополнительный ежегодный доход в сумме 6 тыс. руб неограниченно долго. Какую сумму он должен поместить в банк, начисляющий сложные проценты по ставке 28% годовых?

Решение:

Текущая стоимость перпетуитета определяется по формуле:

PVA = ,

PVA =  21,4286 тыс. руб.

Ответ: В банк необходимо поместить 21,4286 тыс. руб.

 

Задача 11

 

У молодого человека 24 лет появилась возможность окончить годичный курс обучения стоимостью 12 тыс. руб. и занять более высокую должность. Насколько выше должна быть заработная плата в новой должности, чтобы молодой человек счел обучение целесообразным, если в настоящее время его годовая заработная плата составляет 21,6 тыс. руб., и он считает приемлемой для себя норму отдачи на вложения 16% годовых? В новой должности молодой человек собирается работать до выхода на пенсию, т.е. 40 лет. Как изменится ответ, если такую возможность обучения обдумывает мужчина 54 лет?

1. В случае обучения затраты молодого человека будут состоять из не полученных заработков (21,6 тыс. руб.) и платы за обучение (12 тыс. руб.) - всего 33,6 тыс. руб. После окончания курсов молодой человек будет зарабатывать на Х тыс. руб. в год больше, чем сейчас. Сегодняшнюю ценность выгод обучения для молодого человека получим, суммируя геометрическую прогрессию:

PV = X/(1 +0,16) + X/(1 +0,16)2 + X/(1 +0,16)N=X[1 – 1/(1 +0,16)N]/(1 +0,16)[1 – 1/(1 +0,16)N] = X[1 – 1/(1 +0,16)N]/0,16

Второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю при N , и если N достаточно велико, то его конкретное значение несущественно. Так, если молодой человек предполагает проработать в новой должности еще 40 лет, то:

1/  = 0.0026

Этой величиной можно пренебречь, так что:

PV» X/0.16

Вложения в образование эффективны, если выгоды по меньшей мере равны затратам, т. е.:

X/0.16 ≈ 33,6 тыс. руб.

Следовательно, если зарплата будет выше сегодняшней зарплаты на Х = 0.16*33,6 = 5,4 тыс. руб. или более в год, молодой человек сочтет разумным окончить бухгалтерские курсы.

если такую возможность обучения обдумывает мужчина 54 лет, то равенство сегодняшней ценности обучения затратам для него имело бы вид: (X/0.16)[1 – 1/ ] = (X/0.16)(1 – 0.227) тыс. руб. и обучение было бы выгодным лишь при увеличении зарплаты на Х = 18.9 тыс. руб. в год и более

Задача 12

 

Работница заключает с предприятием контракт, согласно которому в случае ее постоянной работы на предприятии до выхода на пенсию (в 60 лет) предприятие обязуется перечислять в конце каждого года в течение 15 лет на счет работницы в банке одинаковые суммы, которые обеспечат ей после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в 5000 руб. в течение 10 лет. Какую сумму ежегодно должно перечислять предприятие, если работнице 45 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 22%?

Решение

Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо с А = 5000 руб. и длительностью n=15 лет. Полагая r=22%, найдем приведенную стоимость этого аннуитета:

PV=5000*FM4(22%,15)=5000*4,8122=38497 руб.

Полученная величина – необходимая будущая стоимость ежегодных вкладов фирмы на счет работника. Поэтому размер вклада находим, полагая FV=38497:

A=38497/FM3(22%,10)=38497/417,9811=81,57 руб.

Таким образом, фирме достаточно перечислять на счет работника 81 руб. 57 коп.

Задача 13

 

Предприниматель занял на шесть лет 45 тыс. руб. под 20%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите величину процентов, которые будут уплачены предпринимателем в четвертом году.

Решение:

В течении 6 лет предприниматель должен погасить задолженность в 45 тыс. равными частями, тогда каждый год будет погашаться 45 / 6 = 7,5 тыс.

в первом году будет уплачено 7,5 + 45 * 0,20

во втором году 7,5 + 37,5 * 0,20

в третьем году 7,5 + 30 * 0,20

в четвертом году 7,5 + 22,5 * 0,20 = 12 тыс. руб. это полная сумма выплаты в четвертый год

Процент в четвертый год составит (45 - 7,5 (которые уплачены в первый год) - 7,5 (которые уплачены во второй год) ) - 7,5 (которые уплачены в третий год) * 0.20 = 22,5 * 0.20 = 4,5 тыс. руб.

Ответ: величина процентов, которую предприниматель должен уплатить в четвертом году равна 4,5 тыс. руб

 

Задача 14

 

Определите, какую сумму получит владелец векселя на 40 тыс. руб. со сроком погашения через 26 месяцев, если он учтет вексель сразу при его выдаче по номинальной учетной ставке 24% годовых при осуществлении операции дисконтирования 4 раза в год. Сравните два способа дисконтирования (при применении только сложной учетной ставки и при применении смешанной схемы).

Решение. Полагаем n = 26/12, т = 4, Fп = F26/12 = 40 тыс. руб. Если использовать формулу, то

Р = 40*  тыс.руб.

Пусть дисконтирование осуществляется по смешанной схеме по формуле

Р = 40*  тыс.руб.

Ответ: Очевидно, для векселедержателя выгоднее смешанная схема.

 

Задача 15

 

Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 28% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 190 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.

Решение.

Пусть T_d и Тr , - временные базы соответст­венно учетной и процентной ставок

Таким образом, полагая r = 0,28, Тr = 365 дней, T  = 360 дней, t= 190 дней, получим:

D=360/190*(1-  -190/360=16.9%

Ответ: Простая годовая учетная ставка 16.9%