Вариант пробный (контрольная работа № 1)

1. Имеются следующие данные по объединению торговых предприятий:

Номер магазина	1 квартал		2 квартал
	Фактический товарооборот млн. руб.	Выполнение задания, %	Задание по товарообороту, млн. руб.	Выполнение задания, %
1	750	100,0	960	102,4
2	920	100,4	950	102,5
3	700	95,5	850	100,0

Определить по объединению магазинов в целом средний процент выполнения задания в 1 и во 2 кварталах. Сделать выводы.

1 квартал: 100,0+102,4 = 202,4. Среднее: 202,4:2 = 101,2

2 квартал: 100,4 + 102,5 = 202,9. Среднее: 101,45.

Вывод: Следовательно, можно отметить положительную динамику выполнения заданий по объединению магазинов.

 

2. На предприятии с числом работающих 2500 человек провели выборочный опрос о занятиях спортом в  выходные дни. Из 500 опрошенных 100 человек регулярно занимаются спортом в выходные дни. Какова численность работников предприятия, занимающихся спортом. Ответ дайте с вероятностью 0,954.

100/500 = 1/5

2500*1/5 =500

500*0,954 = 477.

 

3. Имеются следующие данные о грузообороте предприятий транспорта за 2004-2015 гг. в одном из регионов:

2009 г.	2010 г.	2011 г.	2012 г.	2013 г.	2014 г.	2015 г.
280	304	270	305	301	307	296

Определить вид ряда динамики. Проверить ряд на наличие тренда. Исчислить: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные, средний уровень ряда, среднегодовой темп роста и прироста, результаты представить в таблице и графически, сделать выводы.

 

Абсолютный ряд.

Для проверки ряда на наличие тренда используем критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется в виде следующей последовательности шагов:

1) Из исходного ряда y_t длиной n образуется ранжированный (вариационный) ряд.

t	x
1	270
2	280
3	296
4	301
5	304
6	305
7	307

2) Определяется медиана этого вариационного ряда Me.

Находим середину ранжированного ряда: h = ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ = ⁽⁷⁺¹⁾/₂ = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 304. Следовательно, медиана Me = 304

4) В исходной выборке вместо каждого y_i будем ставить "+", если y_i > Me, "-", если y_i < Me. Если y_i =Me, то не ставится никакой знак. При этом под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-".

Таблица для расчета показателей.

yt	Серии
280	-
304
270	-
305	+
301	-
307	+
296	-

Полученная последовательность "+" и "-" характеризуется количеством серий v(n) = 5 и длиной самой длинной серии t(n) = 2.

5) Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны выполняться следующие неравенства:

t(n) > 3.3(lg(n)+1)

где u_t - квантиль нормального распределения уровня (1-α)/2.

Числа v(n) и t(n) необходимо округлить вниз до ближайшего целого.

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

t_kp = 3.3(lg(7)+1) = 6>2

Таким образом, гипотеза об отсутствии тренда принимается.

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.
Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким способом показатели динамики называются цепными.
Важнейшим статистическим показателем динамики является абсолютный прирост, который определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Абсолютный прирост

цепной прирост: ∆y_ц = y_i - y_i-1

базисный прирост: ∆y_б = y_i - y₁

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Темп прироста

цепной темп прироста: T_прцi = ∆y_i / y_i-1

базисный темп прироста: T_пpб = ∆y_бi / y₁

Распространенным статистическим показателем динамики является темп роста. Он характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

Темп роста

цепной темп роста: T_pцi = y_i / y_i-1

базисный темп роста: T_pб = y_бi / y₁

Абсолютное значение 1% прироста

цепной: 1%_цi = y_i-1 / 100%

базисный: 1%_б = y_б / 100%

Темп наращения

Важным статистическим показателем динамики социально-экономических процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала

T_н = ∆y_цi / y₁

Цепные показатели ряда динамики.

Период	грузооборот предприятий транспорта,	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темпы роста, %	Абсолютное содержание 1% прироста	Темп наращения, %
2009	280	-	-	100	-	0
2010	304	24	8.57	108.57	2.8	8.57
2011	270	-34	-11.18	88.82	3.04	-12.14
2012	305	35	12.96	112.96	2.7	12.5
2013	301	-4	-1.31	98.69	3.05	-1.43
2014	307	6	1.99	101.99	3.01	2.14
2015	296	-11	-3.58	96.42	3.07	-3.93

 

В 2015 году по сравнению с 2014 годом грузооборот предприятий транспорта уменьшилось на 11 или на 3.6%.

Максимальный прирост наблюдается в 2012 году (35 ).

Минимальный прирост зафиксирован в 2011 году (-34 ).

Темп наращения показывает, что тенденция ряда возрастающая, что свидетельствует об ускорении грузооборот предприятий транспорта..

Базисные показатели ряда динамики.

Период	грузооборот предприятий транспорта,	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темпы роста, %
2009	280	-	-	100
2010	304	24	8.57	108.57
2011	270	-10	-3.57	96.43
2012	305	25	8.93	108.93
2013	301	21	7.5	107.5
2014	307	27	9.64	109.64
2015	296	16	5.71	105.71

В 2015 году по сравнению с 2009 годом грузооборот предприятий транспорта увеличилось на 16 или на 5.7%.

Сводная таблица.

Год	грузооборот предприятий транспорта	Абсолютный прирост		Темп роста		Темп прироста
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
2009	280	-	-	100	100	-	-
2010	304	24	24	108.57	108.57	8.57	8.57
2011	270	-34	-10	88.82	96.43	-11.18	-3.57
2012	305	35	25	112.96	108.93	12.96	8.93
2013	301	-4	21	98.69	107.5	-1.31	7.5
2014	307	6	27	101.99	109.64	1.99	9.64
2015	296	-11	16	96.42	105.71	-3.58	5.71

Расчет средних характеристик рядов.

Средний уровень ряда y динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней.

Для нахождения среднего уровня моментного ряда используют среднюю хронологическую:

Среднее значение грузооборот предприятий транспорта за анализируемый период составило 295.83 

Средний темп роста

В среднем за весь период рост анализируемого показателя составил 1.0093

Средний темп прироста

В среднем грузооборот предприятий транспорта ежегодно увеличивалась на 0.9%.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

Средний абсолютный прирост.

С каждым годом грузооборот предприятий транспорта в среднем увеличивалось на 2.67 

Выполним прогноз на 3 шага вперед, используя показатель абсолютного прироста.

y(8) = 296+2.67 = 298.67

y(9) = 298.67+2.67 = 301.34

y(10) = 301.34+2.67 = 304.01

 

4. Производство продукции и её себестоимость на предприятия за два периода.

Товарные группы	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.		Количество произведенной продукции, тыс. кг.
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
А	0,8	1,0	1,21	1,97
Б	1,1	0,7	1,86	1,32
В	1,7	1,5	1,73	1,77

Определите: систему взаимосвязанных признаков, общий индекс затрат на производство; общий индекс себестоимости; общий индекс физического объема произведенной продукции; абсолютный размер изменения себестоимости продукции и физического объема продукции. Сделайте выводы

 

 

Количество произведенной продукции, тыс. кг.		Себестоимость единицы продукции
базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
1.21	1.97	0.8	1
1.86	1.32	1.1	0.7
1.73	1.77	1.7	1.5

Индивидуальные индексы

Вид продукции	iq	iz	iT
1	1.628	1.25	2.035
2	0.71	0.636	0.452
3	1.023	0.882	0.903

а) общий индекс затрат на производство продукции

∆Z = ∑q₁ • z₁ - ∑q₀ • z₀ = 5.549 - 5.955 = 0.41

За счет всех факторов общие затраты снизились на 6.8% или на 0.41.

б) общий индекс себестоимости продукции

∆Z_z = ∑q₁ • z₁ - ∑q₁ • z₀ = 5.549 - 6.037 = -0.49

За счет изменения себестоимости общие затраты снизился на 8.1% или на 0.49.

в) общий индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)

∆Z_q = ∑q₁ • z₀ - ∑q₀ • z₀ = 6.037 - 5.955 = 0.082

За счет изменения объема выработанной продукции, общие затраты возрос на 1.4% или на 0.082.

Покажем взаимосвязь индексов

I = Iq • Iz = 1.014 • 0.919 = 0.932

 

5. Имеются данные о товарообороте и издержках обращения:

Величина товарооборота	131	31,2	164,0	162,0	67,9	65,0	102,3	114,6	73,4	87,5
Издержки обращения	26,3	15,6	41,0	27,0	13,6	21,6	20,4	28,7	14,7	22,0

Для изучения зависимости между величиной товарооборота и издержками обращения определите: параметры линейного уравнения корреляционной связи и теоретические (расчетные) уровни прибыли; линейный коэффициент корреляции. Поясните значение исчисленных показателей.

 

 

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 998.9*b = 30.86

998.9*a + 116752.11*b = 3194.872

Домножим уравнение (1) системы на (-99.89), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-998.9a -99780.121 b = -3082.639

998.9*a + 116752.11*b = 3194.872

Получаем:

16971.989*b = 112.234

Откуда b = 0.00661

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 998.9*b = 30.86

10a + 998.9*0.00661 = 30.86

10a = 24.255

a = 2.4255

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.00661, a = 2.4255

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = e2.4254738e0.00661x = 11.30759e0.00661x

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

 

Выборочные дисперсии:

 

Среднеквадратическое отклонение

 

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

 

 

2.1. Значимость коэффициента корреляции.

Выдвигаем гипотезы:

H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;

H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки) и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит — нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку |tнабл| > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

1.5. Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма высокая;

 

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

 

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции.

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].