Исследование операций в экономике

Задание 1. Рассчитайте параметры линейной регрессии с помощью стандартной функции Excel ЛИНЕЙН(). Поясните смысл найденных параметров

Задание 2. Рассчитайте параметров нелинейной регрессии с помощью стандартной функции Excel ЛГРФПРИБЛ() пояснить смысл найденных параметров на примере. Проанализируйте результат.

В прогнозировании с помощью нелинейных регрессий главное выяснить коэффициент корреляции, который покажет нам есть ли тесная взаимосвязь меду двумя параметрами или нет. Как правило, если коэффициент корреляции близок к 1, значит связь есть, и прогноз будет довольно точен. Ещё одним важным элементом нелинейных регрессий является средняя относительная ошибка (А), если она находится в промежутке <8…10%, значит модель достаточно точна.

Задание 3. Выведите параметры линейной, логарифмической, степенной, полиноминальной (2,4,6 степень) регрессии используя стандартную возможность Excel построение линии тренда. Выберите из всех наилучшую модель для ваших данных.

Данная модель является наилучшей. Данные о росте денежных доходов на душу населения почти всегда лучше описываются не прямой линией, а экспоненциальной кривой. При этом достоверное прогнозирование возможно только на участках подъёма или спуска кривой (при отрицательных значениях х), т.к. сама кривая изменяется монотонно, без точек перегиба. Например, делать экспоненциальный прогноз для функции, изменяющейся синусоидально, можно только на участках подъёма или спуска функции, для чего её разбивают на соответствующие интервалы.

Задание 4. Рассчитайте по ней прогнозируемое значение функции соответствующее среднему значению параметра X. Найдите ошибку прогноза. Сделайте выводы

Математическая модель задачи линейного программирования

Математическое программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, то есть задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Математической моделью экономической задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих рассматриваемый экономический процесс.

Для составления математической модели необходимо:

1)      выбрать переменные задачи;

2)      составить систему ограничений;

3)      задать целевую функцию.

Переменными задачи называются величины  , которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора

.

Системой ограничений задачи называется совокупность уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических условий. В общем случае система ограничений имеет вид

Целевой функцией (показателем эффективности, критерием оптимальности) называют функцию

Общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти значения переменных задачи

,

которые обеспечивают экстремум целевой функции

 (1.1)

и удовлетворяют системе ограничений

 (1.2)

Линейное программирование – это раздел математического программирования, изучающий задачи, математические модели которых включают только линейные функции относительно входящих в модель задачи переменных

.

Допустимым решением (планом) ЗЛП называется вектор

,

удовлетворяющий системе ограничений задачи.

Множество допустимых решений задачи образует область допустимых решений (ОДР).

Допустимое решение (план), доставляющий целевой функции экстремальное значение, называется оптимальным решением (оптимальным планом). Его будем обозначать .

Экстремальное значение целевой функции .

Оптимальное решение не обязательно единственно. Возможны случаи, когда оно не существует, когда имеется конечное или бесконечное множество оптимальных решений.

Составим математические модели некоторых задач линейного программирования (примеры 1 –3).

Пример 1

Имеются стержни, длиной 5 м. Их необходимо разрезать на заготовки 2-х видов: заготовки А – длиной 1,5 м и заготовки В – длиной 0,8 м для производства 20 изделий. На каждое изделие требуется две длинных заготовки (А) и три коротких (В). Определить число стержней, которое необходимо разрезать каждым из возможных способов, чтобы изготовить нужное число изделий и минимизировать отходы.

Решение

Прежде всего, перебрав все возможные способы, построим карту раскроя одного стержня:

Для изготовления 20 изделий потребуется заготовок А: 20´2 = 40 шт. и заготовок В: 20´3 = 60 шт.

1) Введем переменные. Обозначим за  – количество стержней, которые будут разрезаны I способом,  – II способом,  – III способом,  – IV способом.

2. Целевая функция Z – отходы. Ее будем минимизировать. Найдем отходы, полученные при разрезании стержней:

 – отходы, полученные при разрезании  стержней I способом, так как 5 – 3·1,5 = 0,5;

 – отходы, полученные при разрезании  стержней II способом, так как 5 – 2·1,5 – 2·0,8 = 0,4;

 – отходы, полученные при разрезании  стержней III способом, так как 5 – 1·1,5 – 4·0,8 = 0,3;

 – отходы, полученные при разрезании  стержней IV способом, так как 5 – 6·0,8 = 0,2.

Тогда .

3. Составим систему ограничений задачи.

а) Ограничение на заготовки А.

При разрезании  стержней I способом получим  заготовок А,  стержней II способом –  заготовок А,  стержней III способом –  заготовок А, при разрезании  стержней IV способом заготовок А не образуется. Таким образом, всего получим  заготовок А, что по условию задачи должно быть не менее 40, то есть .

б) Аналогично получим ограничение на заготовки В:

.

в) Составим ограничения на экономический смысл переменных. Так как количество стержней может быть только неотрицательным числом, то  и  – целые.

Итак, математическая модель данной задачи имеет вид:

;

Пример 2

Предприятие за 10 часов должно произвести 31 единицу продукции вида П₁ и 36 единиц продукции вида П₂. Для производства продукции каждого вида может быть использовано оборудование А₁ или А₂.

Производительность оборудования этих групп различна и определяется величиной  ед/ч, а стоимость 1 часа работы оборудования составляет  усл. ден. ед/ч , где i – индекс, отличающий вид оборудования, а j – вид продукции. Требуется определить оптимальный план работы групп оборудования на протяжении 10 часов, при котором будет выполнен план выпуска продукции с минимальной себестоимостью.

5,         3,         4,         6,

8,         7,                  4,                  2.

Решение

Для наглядности составим таблицу:

1) Обозначим за  – время работы оборудования А_i по выпуску продукции П_j, .

2) Целевая функция будет представлять собой затраты на выпуск продукции, которые необходимо минимизировать. Так как затраты по выпуску продукции П_j на оборудование А_i составляют , то целевая функция будет иметь вид:

,

т. е. .

3. Составим систему ограничений.

а) Ограничение на выпуск продукции П₁.

На оборудовании А₁ будет произведено  единиц продукции П₁.

На оборудовании А₂ будет произведено  единиц продукции П₁.

Таким образом всего продукции П₁ будет произведено , что по условию должно быть равно 31, то есть получим ограничение , или .

б) Аналогично получим ограничение по выпуску продукции П₂: , или .

в) Ограничение на время работы оборудования А₁.

Время работы оборудования А₁ по выпуску обоих видов продукции не превышает плановый период 10 ч, следовательно, ограничение будет иметь вид: .

г) Аналогично получим ограничение на время работы оборудования А₂: .

д) Введем ограничения на экономический смысл переменных, так как время не может быть отрицательным, то .

Таким образом, математическая модель данной задачи будет иметь вид:

;

Пример 3

Предприятие может выпускать продукцию двух видов: П₁ и П₂. При этом используется три вида ресурсов: время работы оборудования, сырье и электроэнергия. Нормы расхода, запасы ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции представлены в таблице:

Найти оптимальный план выпуска продукции.

Решение

Введем переменные:

,  – объем выпускаемой продукции П₁ и П₂ соответственно.

Целевая функция Z – прибыль от реализации всей выпущенной продукции.

Математическая модель данной задачи будет иметь вид:

;