ИСТОРИЯ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

УДК 621.7

История решения квадратных уравнений

И.И. Галлямов

(Филиал ФГБОУ ВО УГНТУ в г. Октябрьском, профессор, д.т.н.)

А.В. Иванов

(Филиал ФГБОУ ВО УГНТУ в г. Октябрьском, студент гр. БГР 15-11)

Аннотация: Из изучения истории решения квадратных уравнений предложены были алгоритмы решения уравнений первой и второй степени. Новизна исследования: результаты исследований полезны будут при решении наиболее сложных уравнений, к примеру, дробно-рациональных уравнений, биквадратных уравнений, уравнений высших степеней, а в старшей школе показательных, тригонометрических, а также логарифмических уравнений.

Ключевые слова: квадратные уравнения, алгоритм, метод, решение, отрицательное число.

UDC 621.7

THE HISTORY OF SOLVING QUADRATIC EQUATIONS

I. I.Gallyamov

(FSBEI НЕ Ufa State Petroleum Technological University, Branch of the City of Oktyabrsky, Russian Federation, professor)

A.V. Ivanov

(FSBEI НЕ Ufa State Petroleum Technological University, Branch of the City of Oktyabrsky, Russian Federation, student gr. BGR 15-11)

Abstract. From the study of the history of solving square equations, algorithms for solving equations of the first and second degree were proposed. Novelty of the research: the results of the research will be useful in solving the most complex equations, for example, fractional-rational equations, biquadrate equations, equations of higher degrees, and in high school exponential, trigonometric, and logarithmic equations.

Keywords: square equations, algorithm, method, solution, negative number.

Introduction

Ещё в древности необходимость решения уравнений первой и второй степени вызвана была потребностью решать задачи, которые связаны с нахождением площадей участков земли, с развитием математики и астрономии.

Materials and methods

Вавилоняне умели квадратные уравнения решать около 2000 лет до н. э. Правила решения данных уравнений, которые изложены в вавилонских текстах, по существу совпадают с современными, однако в этих текстах нет понятия отрицательного числа и общих методов для решения квадратных уравнений.

Квадратное уравнение — это уравнение ax²+ bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), а x — неизвестное.

Числа a, b, c являются коэффициентами квадратного уравнения. a - первый коэффициент; b - второй коэффициент; а c — свободный член. Интересно, кто первым "изобрёл" квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения квадратных и линейных уравнений известны были еще в Древнем Вавилоне 4000 лет назад. Древние вавилонские глиняные таблички, которые датированы где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., считаются самыми ранними свидетельствами, подтверждающими изучение квадратных уравнений. На подобных же табличках показаны методы решения некоторых видов квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения первой и второй степени еще в древние времена вызвана была потребностью решать задачи, которые связаны с расчетом площадей земельных участков, а также с земляными работами военного характера, с развитием математики и астрономии [1].

Правило решения данных уравнений, которое изложено в вавилонских текстах, по существу совпадает с современным, но неизвестно, каким образом вавилоняне дошли до данного правила. Почти все клинописные тексты, найденные до сих пор, приводят только задачи с решениями, которые изложены в виде рецептов, без каких-либо указаний относительно того, как были они найдены. В клинописных текстах, несмотря на высокий уровень развития в Вавилоне алгебры, отсутствуют общие способы решения квадратных уравнений и понятие отрицательного числа.

Примерно с IV века до н.э. вавилонские математики применяли для решения уравнений с положительными корнями метод дополнения квадрата. Эвклид около 300 года до н.э. сформулировал более общий геометрический способ решения.

Первым математиком, нашедшим решение уравнения с отрицательными корнями в форме алгебраической формулы, стал индийский ученый Брахмагупта (VII столетие нашей эры, Индия). Брахмагупта описал общее правило для решения квадратных уравнений, которые приведены к единой канонической форме: ax² + bх = с, а>0. В данном уравнении коэффициенты, могут быть так же и отрицательными.

По существу, правило Брахмагупты совпадает с современным. В Индии распространены были публичные соревнования в решении сложных задач. В одной из довольно старых индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце своим блеском затмевает звезды, так и ученый человек в народных собраниях затмит славу, решая и предлагая алгебраические задачи».

Results

Часто задачи облекались в стихотворную форму. В алгебраическом трактате Аль-Хорезми нам преподносится классификация квадратных и линейных уравнений. Автор этого трактата насчитывает 6 видов уравнений и выражает их так:

 1) «Квадраты равны корням», т. е. ах² = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах² = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах² = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах² + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах² + bх =с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах².

Для Аль-Хорезми, который избегал употребления отрицательных чисел, члены любого из этих уравнений не вычитаемые, а слагаемые. При этом не берутся заведомо во внимание уравнения, у которых положительных решений нет. Автор показывает способы решения данных уравнений, используя приемы ал-мукабала и ал-джабр. Его решение, не совпадает, конечно, с нашим полностью. Не говоря уже о том, что оно чисто риторическое, необходимо отметить, например, что Аль-Хорезми при выполнении решения неполного квадратного уравнения первого вида, не учитывает нулевого решения, возможно, потому, что оно в конкретных практических задачах не имеет значения. Аль-Хорезми при решении полных квадратных уравнений излагает правила решения, а потом их геометрические доказательства [1].

По образцу Аль-Хорезми формы решения квадратных уравнений в Европе впервые изложены были в «Книге абака», которая написана итальянским математиком Леонардом Фибоначчи в 1202г. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе он подошел к введению отрицательных чисел. Данная книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, а также во Франции, Германиии других европейских странах. Многие задачи из данной книги переходили практически во все учебники Европы XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, которые приведены к единому каноническому виду x² + bх = с при разнообразных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано М. Штифелем в Европе в 1544 г.

 У Виета имеется вывод формулы для решения в общем виде квадратного уравнения, однако ученый признавал лишь положительные корни. Математики из Италии в XVI в. Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых учитывают положительные и отрицательные корни. Только в XVII в. с помощью трудов Жирара, Декарта, Ньютона и многих других ученых принимает современный вид метод решения квадратных уравнений. Изучим несколько способов для решения квадратных уравнений.

Стандартные методы решения квадратных уравнений из программы школы:

- Разложение на множители левой части уравнения.

- Метод выделения полного квадрата.

- Решение по формуле квадратных уравнений.

- Графическое решение квадратного уравнения.

- Решение уравнений с применением теоремы Виета.

Conclusion

Умение рационально и быстро находить решение квадратных уравнений необходимо для решения наиболее сложных уравнений, к примеру, дробно-рациональных уравнений, биквадратных уравнений, уравнений высших степеней, а в старшей школе показательных, тригонометрических, а также логарифмических уравнений.

Confirmations

Исследовав все найденные способы решения квадратных уравнений, пришли к выводам что, кроме стандартных способов, можно выделить решение способом переброски и решение уравнений по свойству коэффициентов, так как они считаются более доступными для понимания.

Список использованных источников

1. Способы решения квадратных уравнений / А. Р. Гасанов, А. А. Курамшин, А. А. Ельков [и др.]. — Текст : непосредственный, электронный // Юный ученый. — 2016. — № 6.1 (9.1). — С. 17-20. — URL: https://moluch.ru/young/archive/9/636/ (дата обращения: 23.04.2020).