Введение

Если число состояний системы S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в любое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Для вероятностей p1(t), p2(t),…, pn(t) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Колмогорова, которые в случае нахождения предельных вероятностей превращаются в систему линейных алгебраических уравнений (уравнений глобального баланса) для каждого состояния. Совместно с нормировочным условием эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности. Примером составления уравнений для нахождения предельных вероятностей могут служить процессы гибели и размножения.

Процесс «гибели и размножения» в математическом моделировании

В ТМО широко распространен специальный класс случайных процессов – так называемые процессы гибели и размножения. Название это связано с рядом биологических задач, где этот процесс служит математической моделью изменения численности биологических популяций. Граф состояний такого процесса имеет вид:

Особенность такой системы заключается в том, что переходы могут осуществляться из любого состояния только в соседние состояния, т.е. из состояния S_k возможен переход только в состояния S_k-1 или S_k+1.

Составим и решим СЛАУ для предельных вероятностей состояний (а их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое за конечное число шагов).

Для S₀: .

Для S₁: .

С учетом этого: .

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

,

к которой добавляется нормировочное уравнение: .

Решим эту систему:

Обратим внимание на формулы для P_i: числители представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (от начала до данного состояния S_i); знаменатели – произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (из состояния S_i до начала).

Таким образом, все вероятности состояний P_i выражены через одну из них (через вероятноять P₀). Подставим эти выражения в нормировочное условие и получим:.

Существует система уравнений А. Лотки — В. Вольтера, которая описывает процесс гибели и размножения в экологической системе «хищник—жертва».

Эта система дифференциальных уравнений требует решения численными методами.

Можно предложить метод волны вероятности для исследования процесса гибели и размножения в экологической системе «хищник-жертва». Этот метод является более простым с точки зрения вычислений. Он основан на принципе Гюйгенса — Френеля. При использовании метода волны вероятности строится граф, каждое состояние которого характеризует численности хищников и жертв соответственно. В нем применяются теория игр и теория систем массового обслуживания. Метод волны вероятности для экологической системы «хищник — жертва» получается из метода волны вероятности для экологической системы «хищник — хищник» с добавлением дополнительных измерений графа. Для обоснования применения метода волны вероятности рассмотрим процесс гибели и размножения в теории систем массового обслуживания.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями λ или μ. Можно рассмотреть метод волны вероятности на примере задачи динамики численности популяций одного вида (хищников и жертв). Пусть увеличение числа особей происходит с постоянной интенсивностью λ, а интенсивность гибели пропорциональна числу особей

i*μ

где    i-количество особей популяции,

μ — интенсивность гибели.

Аналогом такой системы может быть система массового обслуживания с бесконечным числом каналов. Граф данной системы:

Для того чтобы данную задачу можно было решать методом волны вероятности, необходимо добавить к графу ещё одно измерение:

В результате этого получен граф, в котором при продвижении на одно положение по горизонтали происходит увеличение числа особей одного вида, а при продвижении по вертикали — уменьшение. Если необходимо пронаблюдать систему за некоторый короткий промежуток времени, то  в  качестве исходной точки S_k выбирается некоторое начальное положение, из  которого стартует система:

При наличии дополнительных данных о состоянии системы положение может определяться начальным условием вида P(S_k) = 1. Если же необходимо проанализировать, как будет вести себя система в стационарном режиме, то в качестве k выбирается математическое ожидание количества особей.

После чего интенсивности перехода заменяются вероятностями перехода из данного состояния в каждое из возможных состояний. Далее будут использованы следующие обозначения:

P^k — вероятность перехода в состояние с меньшим числом особей. Вероятность P^k рассчитывается по следующей формуле:

Так как система из  k-го положения может перейти либо в k – 1-ое, либо в k + 1-ое, то вероятность перехода в k + 1-ое состояние составляет 1 – P^k. Финальный граф для расчёта плотности вероятности состояний:

Расчёт в графе ведётся по диагоналям, в которых состояния удалены от начального на одинаковое количество шагов. Формула волны вероятности в этом случае имеет вид:

где    Pk

n – вероятность нахождения системы в Sk состоянии после реализации n событий.

В качестве результатов расчёта берутся деленные пополам вероятности нахождения системы в состояниях из последних двух диагоналей. Это позволяет получить гладкое распределение, и сумма полученных вероятностей состояний равна единице.

С помощью описанного выше метода была проведена оценка плотности распределения в задаче гибели и размножения в стационарном режиме. Для расчётов использовались следующие начальные данные: λ = 30 (интенсивность размножения), μ =1 (интенсивность гибели), n от 20 до 80 (численность популяции одного вида). Результаты расчёта:

 где p — вероятности состояний популяции для задачи гибелии

размножения,

n—численность популяции.

Стабилизация графика распределения наблюдается уже при трёхстах этапах расчёта. Графики распределений, рассчитанных численно и аналитически, практически идентичны. Наблюдается лишь незначительный сдвиг максимума численного распределения в сторону уменьшения числа опытов. Размер сдвига не уменьшается с увеличением числа этапов. Такой сдвиг может быть обусловлен увеличением интенсивности появления событий при увеличении числа особей, не учитываемом в методе волны вероятности.

Двухмерный случай системы гибели и размножения аналогичен экологической системе «хищник — жертва», где происходит взаимодействие двух популяций, которые гибнут и размножаются. Фрагмент двухмерного графа данной системы:

Рис. 1. Фрагмент двухмерного графа экологической системы «хищник—жертва»:

где λ—естественная прибыль жертв при отсутствии хищников,

μ—коэффициент, отвечающий за количество жертв, поедаемых хищниками,

ν—естественная убыль хищников в отсутствии пищи,

τ —прибыль хищников при поедании ими жертв,

S_ij– состояние системы (i– количество хищников, j—количество жертв).

Каждой популяции из экологической системы «хищник — жертва» ставится в соответствие два измерения графа. Вдоль одного из них происходит увеличение числа особей, соответствующего вида, а вдоль другого—уменьшение. Для вероятностей перехода между состояниями справедлива следующая формула:

Формула волны вероятности для двухмерного случая имеет вид:

Далее интенсивности перехода заменяются вероятностями перехода из данного состояния в каждое из возможных состояний.

Заключение

Часто в системах самого различного назначения протекают процессы, которые можно представить в виде модели "гибели и размножения".

Особенностью модели является наличие прямой и обратной связей с каждым соседним состоянием для всех средних состояний; первое и последнее (крайние) состояния связаны только с одним "соседом" (с последующим и предыдущим состояниями соответственно).

Название модели - "гибель и размножение" - связано с представлением, что стрелки вправо означают переход к состояниям, связанным с ростом номера состояния ("рождение"), а стрелки влево - с убыванием номера состояний ("гибель"). Очевидно, стационарное состояние в этом процессе существует. Составлять уравнения Колмогорова нет необходимости, так как структура регулярна, необходимые формулы приводятся в справочниках, а также в рекомендованной литературе.

Список литературы

• Зайцев Д. В., Шамаева О. Ю., Шведов Н. А. Применение метода волны вероятности для исследования процесса гибели и размножения в экологической системе «хищник-жертва» // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. 2019. №06. С. 70-75
• Изучение Марковских случайных процессов: методические указания по выполнению практической работы №2 по курсу «Теория телетрафика» / Юго-Зап. гос. ун-т; сост. А.В. Хмелевская, А.Н. Шевцов. Курск, 2017. 20 с.
• Коваленко А. А. Модели стохастических продуктивных систем: критерий процессов размножения и гибели "точно-в-срок" // Южно-сибирский научный вестник.  2019. №2. С. 145-149