Математические методы в исследовании экономики используются с XVIII века. Именно в это время одним из центральных экономических понятий стало общее экономическое равновесие - это цены равновесия, ориентируясь на которые каждая фирма и потребители решают свою задачу максимизации, а также все локальные рыночные равновесия фирм и потребителей[1]. При таком процессе не должно быть дефицита ни по одному продукту, а значит, спрос покупателей должен быть равен предложению производителей. Математические методы - научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов при помощи математических моделей[2]. Они используются для решения различных задач экономической теории и хозяйственной практики, а также являются важным предметом анализа происходящих процессов и явлений, построения экономических теорий, гипотез, аксиом, позволяющих отобразить существенные связи и взаимоотношения между субъектами экономической деятельности. Одним из самых развивающихся направлений в математических методах является экономико-математическое моделирование. Оно позволяет оптимизировать затраты производства, минимизировать издержки, риски, составить прогнозы возможного спроса и предложения, увеличить эффективность предприятия, а также разрабатывать торговые тактики и стратегии.

Моделирование, являясь мощным средством анализа проблемных ситуаций в экономике и обоснования управленческих решений, традиционно привлекает пристальное внимание специалистов – ученых и практиков. Из результатов выполненного исследования по применению математических методов и моделей в современной экономике следует, что количественные методы, непрерывно развиваясь, все глубже проникают в разноуровневые процессы принятия решений и охватывают почти все сферы экономики, менеджмента и социальной жизни. При этом необходимо отметить, что на сегодняшний день практически отсутствуют аналитические работы, в которых в систематизированном виде обосновывалась необходимость использования классического и новейшего математического аппарата в экономических исследованиях и принятии управленческих решений и демонстрировались лучшие практики такого использования. В настоящей статье предпринята попытка анализа масштабов применения экономико-математического моделирования и обоснования существующих методов в экономике и системах принятия решений на основе отечественных и зарубежных научных изданий в исследуемой области.

Модели экономических процессов и явлений весьма многообразны. Они тесно коррелируют с функциями познания (науки) – феноменологической, объяснительной, прогностической, нормативной – и не всегда требуют применения строгого формализованного аппарата. Формируемые на начальных этапах исследования дескриптивные, концептуальные, логико-структурные модели могут быть описаны на качественном уровне, в терминах анализируемой предметной области. И это не является их недостатком.

Качественные модели позволяют проводить исследование, пользуясь специфическим языком предметной области и ее содержательными интерпретациями.

Построенные на основе фактических данных, содержательные модели детерминируют логику процесса или явления и предоставляют возможность проводить дальнейшее аналитическое изучение на базе определенных гипотез об их структурных, статических и динамических характеристиках. Строгий количественный язык здесь не требуется, хотя его применение не исключается.

Прогнозные модели можно строить на экспертно-качественном уровне, однако здесь количественные модели гораздо более предпочтительнее – их проще идентифицировать, верифицировать, обосновывать, применять.

В еще большей степени это относится к нормативным моделям, предназначение которых – обоснование путей достижения поставленных целей, выработки и реализации оптимальных управленческих решений.

Само принятие управленческих решений невозможно без концепции числа, поскольку оптимальное управление – это наилучшее управление в заданных условиях места и времени при определенных ограничениях. И здесь без применения математического инструментария просто не обойтись.

Проникновение математики в другие науки в значительной степени определяется тем, что она предоставляет наиболее точные и адекватные модели. В совокупности приведенные аргументы обосновывают формирование и развитие экономико-математического моделирования как инструмента экономической науки, современное состояние которого обусловливается взаимным действием нескольких факторов.

Прежде всего, это состояние экономической науки. Общепризнанным является положение: для того чтобы применение формализованных методов стало в принципе возможным, наука должна достичь определенной степени совершенства. В настоящее время доминирующим является системный подход к исследованию экономических явлений, что отражается и в эволюции моделей. По мере развития экономической науки эволюционировали и объекты моделирования. Если на начальных этапах рассматривались отдельные операции, то – производственные системы, системы поддержки принятия решений. Далее, это развитие собственно математики как теоретической основы экономико-математического моделирования. Если язык классической математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, то современный математический язык – это язык алгоритмов и программ, включающий прежний как частный случай; он становится все более универсальным, способным описывать многопараметрические объекты. Многократно усиленный мощью вычислительной техники и информационными технологиями, он позволяет моделировать практически все экономические системы, причем во всей их сложности и полноте. Среди базовых теоретических концепций достижением последних десятилетий следует считать формирование аппарата нечеткой математики. Из прикладных разделов математики, используемых в моделировании экономических процессов, наиболее стремительно в последние годы развиваются математическое программирование, аппарат теории графов, методы прогнозирования и имитации. И, наконец, это потребности практики – экономико-математические модели по целям и средствам должны разрабатываться как основа рекомендаций для действий при решении практических проблем. Чем сложнее, масштабнее проблемы, тем менее допустимы в них волевые решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные, установить, достаточна ли имеющаяся информация, и если нет – какую информацию нужно получить дополнительно. Слишком опасно в таких ситуациях опираться только на интуицию, опыт и здравый смысл.

Сегодня техника и технология меняются так быстро, что опыт просто не успевает накапливаться; к тому же часто речь идет о мероприятиях уникальных, проводимых впервые. Опыт в таких случаях молчит, а здравый смысл легко обмануть, если он не опирается на расчет. Рост масштабов и усложнение задач потребовали решительного снижения ошибок в выборе наилучшего решения. Это требует привлечения аппарата количественного анализа решений, в том числе и средствами экономико-математического моделирования.

Несомненным приоритетом последнего времени следует признать ориентирование экономики на инновационное развитие. Применение экономико-математического моделирования в различных сферах инновационной экономики схематично представлено на рисунке 1.

Рис. 1 Сферы применения экономико-математического моделирования в инновационной экономики

Инновационное развитие как объект моделирования. Актуальность проблемы инновационного развития требует последовательного и всестороннего академического изучения, в том числе и средствами моделирования на различных уровнях. Выявленные исследователями закономерности инновационного развития нашли отражение и в современных экономико-математических моделях, которые формализовали выявленную на концептуальном уровне связь между механизмами экономического роста и процессами инновационного развития.

Экономико - математическое моделирование является основой теории принятия решений в различных отраслях (направлениях) экономики - менеджмента, маркетинга[3]. Оно применяется для управления (организации, планирования, контроля, прогнозирования, мотивации) объектами и процессами предприятия. В экономической теории выделяют методы экономического исследования[4]:

1) описательный или эмпирический;

2) формально - логический;

3) диалектический.

Математическое моделирование относится к формально - логическому методу и является его простейшей категорией. Ему даётся следующая трактовка: «Математическое моделирование - это описание экономических явлений на формализованном языке с помощью математических символов и алгоритмов. Оно позволяет представить возможные варианты изменений в экономических исследованиях»[5]. Следовательно, можно сделать некий вывод, согласно которому, при помощи математического моделирования можно представить ту или иную ситуацию в экономике, составить прогнозирование экономических явлений, их возможную динамику и дальнейшие последствия. Также можно выделить некоторые характерные черты, присущие любому виду экономико-математической модели.

Процесс моделирования можно разделить на 3 главных составляющих (этапа)[6]:

1) анализ теоретических закономерностей, присущих изучаемому явлению или процессу, а также практических данных о его структуре и особенностях поведения;

2) определение методов, посредством которых решится поставленная задача;

3) анализ полученных результатов и составление вывода.

Важнейшей задачей 1 этапа является ясная формулировка цели построения модели, сущностной проблемы, определение её особенностей функционирования, условий, в которых будет работать данная модель, а также выработка главного критерия, на основе которого будут сравниваться различные варианты решения.

Вторым этапом моделирования процессов является формализация проблемы, представление её в виде зависимостей и отношений между элементами исследования, выбор наиболее оптимального (рационального) математического метода для решения поставленной задачи. Это могут быть методы: логарифмирования, дифференциального исчисления, линейного программирования и т.д.

Третьим этапом моделирования является всеохватывающий анализ полученных результатов исследуемого экономического объекта. Конечным критерием правдивости и качества полученной модели являются практика, соответствие полученных результатов и выводов реальной ситуации, экономическая объективность полученных оценок.

Четвёртым этапом является внедрение (реализация) полученной модели. Оптимальной моделью является не самая сложная, а та, которая позволяет получить самое рациональное решение и наиболее точные данные. Излишняя детализация усложняет построение модели, делает её громоздкой, а излишнее укрупнение модели приводит к потере существенной, важной, объективной информации, необходимой для исследования, а также к нереальному отражению действительности.

В модель включают лишь значимые (существенные, определяющие) факторы. Модель может быть основана на функциональной или корреляционной связи. Функциональная связь выражается уравнением: у = f(х). Корреляционная связь - это вероятностная зависимость, отражающаяся только при значительном количестве наблюдений[7].

Однофакторные модели могут основываться на линейном уравнении: у = a_b + a₁x. Рассмотрим примеры решения задач по экономико - математическому моделированию.

Задача 1. Найти объём продукции, произведённой за период [О;Т], если функция Кобба - Дугласа имеет вид[8]:

;

;

;

;

Решение:

Найдём параметры задачи: а = 4 * 10 = 40, b = 4, γ = 1/20, Т = 10.

Тогда z(t) = (40+4t) * e^t/20.

Получаем, что объем продукции, произведенной за период [0;10], равен:

Ответ: объём продукции, произведённой за 10 лет равен 800 единиц.

Задача 2. Процесс ценообразования описывается следующими уравнениями:

,

где  - цены на товары.

В начальный момент времени цены на товары составляют:

х₁(0) = N условных единиц; х₂(0) = (N + 2) условных единиц.

Определить зависимость цен на товары от времени в будущем.

Решение: Получаем систему:

Решим данную систему. Использовать метод исключения.

Дифференцируя первое уравнение системы по t , получим:

Подставляем     из второго уравнения:

Подставляем из первого уравнения

Получаем:

Решим уравнение. Сначала найдем решение соответствующего однородного уравнения. Составим и решим характеристическое уравнение:

, общее решение 331.

Найдем частное решение неоднородного уравнения по виду правой части:

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

Находим  используя соотношение

Подставляем:

Получили решение:

Используем начальные условия: x₁(0) = 10; x₂(0) = 12.

Искомая зависимость цен на товары от времени в будущем выглядит так:

Ответ:

Таким образом, можно сделать вывод, что экономико - математическое моделирование даёт возможность представить поведение экономических процессов и явлений в определённых условиях.

Развитие математики в новое время подтолкнуло к использованию ее методов и приемов в абсолютно разных отраслях практики, как в технических, так и естественных отраслях науки.

Математическая экономика зародилась с образцов в производствах, отражавшие потоки товаров и денег. Основоположниками математической экономики являлись О. Курно (1801-1877), который вводит определения предложения, спроса. И.Г. Тюнен (1783-1850), применивший математические приемы в экономике, предложив теорию размещения производств и Ф. Кенэ (1684-1774), который написал «Экономическую таблицу», ставшей одной из самых первых прототипов трехсекторного макроэкономического простого производства[9].

С конца 19 века математика стала широко применяться в экономике, а в 20 веке большинство работ, удостоенных нобелевских премий по экономики и наиболее значимых в экономике, как науки, были связаны с математическими приемами моделирования

Исследование операций в экономике является одной из научных дисциплин, главной целью которой является количественное обоснование принятых решений. С помощью приемов математики решаются разные виды экономических вопросов. К таким вопросам обычно относят[10]:

• наилучшего выбора маршрута;
• составления расписания;
• сетевого планирования и управления, необходимого в определенных видах работ;
• нахождения пути оптимального использования ресурсов, которые по разным причинам носят ограниченный характер (сырьевых, трудовых, временных).

Задачи линейного программирования представляют собой оптимизационную задачу, в которой функция и уравнения или неравенства, входящие в данную систему ограничений, будут представлять собой некие линейные функции.

Решения задачи линейного программирования графический метод состоит из двух этапов:

• нахождении выпуклого многоугольника или области, содержащую в себе систему ограничений данных;

нахождение главной функции = c_1x1 + c₂x₂, геометрически имеющих вид семейства параллельных прямых, которые будут перпендикулярны вектору нормали N(c₁,c₂), и называемых линиями уровня, вдоль которой данная функция будет иметь фиксированное значение.

Симплекс метод, используемый в данных задачах линейного программирования, представляет собой схему оптимального шага за ограниченное число данных шагов[11]. Для работы с этим методом нужно, чтобы данная задача линейного программирования имеется в виде, где система ограничений будет выражена в виде уравнений. Симплекс- таблицами, которых на данный момент существует большое количество, удобно пользоваться для исследования задач линейного программирования. Рассмотрим одну из них, где математическая модель задачи будет приводиться к канонической форме благодаря наличию дополнительных неотрицательных переменных. Для этого нужно будет провести определенные процессы:

Для начала определяют базисное допустимое решение. Для эго нахождения необходимо разделить переменные на две группы, которые представляют собой основные (базисные) и неосновные[12].

Составляют исходную симплекс-таблицу, в которую записывают параметры, соответствующие нашему данному базисному допустимому решению:

Весовые коэффициенты c_j при переменных xj (j = 1,...,n) целевой функции (строка C).

Весовые коэффициенты c_i при базисных переменных xi (i = 1,...,m) целевой функции (столбец c_b).

Переменные x_i (i = 1, ... ,m), которые входят в текущий базис (столбец A_b).

Свободные коэффициенты b_i (i =1, ... ,m) уравнения ограничений (столбец B), в которых необходимо найти оптимальный план задачи.

Элементы a_ij (i = 1, ...,m; j = 1, ... ,n) матрицы условий задачи (столбцы A₁, .., A_n).

Оценки _Sj (j=1, ... ,n) векторов условий A_j, определяющиеся по заданной формуле, приведенной внизу[13]:

Где c_i будет представлять собой весовые коэффициенты при базисных переменных.

 - если S_ji = 0 для всех j = 1, ..., n, то данное решение приходится оптимальным для задачи;

 - если получается, что S_j < 0 и в столбцах A_j, которые соответствуют данным отрицательным оценкам, будет существовать хотя бы один элемент a_ij > 0, то в данном случае будет возможен переход к новому решению, который будет связан с большим значением целевой функции. Из отрицательных оценок будет выбираться та, у которой значение по абсолютной величине будет величиной наибольшей.

- если получается, что S_k<0 и получится, что в столбце A_k все элементы будут представлять собой a_ik<0, то в области допустимых решений исходная функция не будет ограничена сверху. Далее определяют вектор A_k, который вводят в базис для улучшения решения данной задачи, по наибольшему значению S_k. Переменная этого столбца x_k будет представлять собой совершенно новую базисную переменную, которая введется в исходный базис. Столбец, который содержит данную переменную, называют направляющим столбцом.

Определяют вектор, который нужно будет вывести из базиса, используя равенство, представленное ниже:

Данное равенство облегчает поиск направляющей строки. Переменная хr, которая будет соответствовать данной строке, будет выводиться из базисного решения и заменится переменной x_k, полученного направляющего столбца. Элемент a_rk, стоящий на пересечении направляющего столбца и направляющей строки, носит название разрешающий элемент. Заполняют таблица, которая будет соответствовать новому полученному базисному решению. В данной таблице, вначале будут заполняться клетки строки r с вводимой переменной xk. Для этого все элементы данной строки нужно будет поделить на соответствующие направляющие элементы. Получают элементы новой строки[14]:

Данный процесс вычислений подойдет к концу, когда будет найдено оптимальное количество решение.

Если данная задача не будет содержать в себе какую-либо единичную матрицу и невозможно будет привести ее к указанному выше виду, то для решения такой задачи нужно будет использовать метод, которые называется метод искусственного базиса. Для получения единичной матрицы к каждому ограничению нужно будет прибавить по одной неотрицательной переменной, которая называется искусственной. Единичные вектора, которые будут соответствовать искусственным переменным, образуя искусственный базис. В целевую функцию искусственные переменные добавляют с коэффициентом М, если будет поставлен вопрос о нахождении минимума[15].

Сегодня математические методы широко применяются в самых разных областях знания, так как они помогают облегчить решения множества задач, которые рассматриваются в науке. В данной статье были представлены лишь небольшая часть всех тех методов и моделей, которые находят свое применение в решении математических задач в экономике.

Список использованной литературы:

• Бантикова В.И., Васянина Ю.А., Жемчужникова О.И. (под ред. А.Г. Реннера. Математическое моделирование: исследование социальных, экономических и экологических процессов (региональный аспект). // Оренбургский гос. ун-т. - Оренбург: ОГУ, 2014. - 366 с.
• Барлаков С.А., Моисеев С.И., Порядина В.Л. Модели и методы в управлении и экономике с применением информационных технологий. СПб.: ИЦ Интермедия, 2016. – 264 с.
• Болодурина И.П., Огурцова Т.А., Арапова О.С., Иванова Ю.П. Теория оптимального управления. Оренбург : ОГУ, 2016. – 147 с.
• Бурда А.Г., Бурда Г.П. Моделирование в управлении. Моделирование в управлении: учебное пособие (курс лекций). Кубанский государственный аграрный университет. – Краснодар, 2015. – 250 с.
• Горбунов В.К. Производственные функции: теория и построение. Учебное пособие. - Ульяновск: УлГУ, 2016. - 84 с.
• Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Перспективы применения математических методов в экономических исследованиях. // Аграрная наука, творчество, рост 2015. - С. 255-257
• Игропуло В.С., Яновский А.А. Математическое моделирование некоторых ориентационных процессов на наноповерхностях // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2015. т. 15. № 3. - C. 484-485.
• Конюховский П.В. Математические методы исследования операций. СПб: Питер, 2016. - 208 с.
• Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Виселов Г.И. Матричный метод линеаризации уравнений движения управляемого объекта. // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона 2016. - С. 128-130
• Пылыпив А.М., Панченко В.В. и др. Экономико-математическое моделирование. Учебное пособие. – Саратов: Амирит, 2016. – 360 с.
• Рублева Г.В. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. – Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2014. – 92 с.
• Сеславин А.И., Сеславина Е.А. Оптимизация и математические методы принятия решений. Учебное пособие для специалистов, бакалавров и магистров экономических специальностей. – М.: МИИТ, 2015. – 152 с.
• Тюнин А.И., Рябчук П.Г. История экономических учений. Учебное пособие. - Челябинск: ЮУрГПУ, 2017. - 108 с.
• Яновский А.А., Спасибов А.С. Математическое моделирование процессов в кипящих намагничивающихся средах // Современные наукоемкие технологии. 2015. № 5-2. - С. 183-186.
• Яновский А.А., Симоновский А.Я., Клименко Е.М. К вопросу о влиянии магнитного поля на гидрогазодинамические процессы в кипящей магнитной жидкости // Электронная обработка материалов. - 2016. - № 3, С. 66-72.