Математические модели в системе принятия оптимальных управленческих решений

Все методы принятия решений делятся на две группы: формализованные (математические) и неформализованные (эвристические).

Формализованные методы основаны на получении количественных результатов вычислений и используются при решении хорошо структурированных и слабоструктурированных проблем для оценки вариантов решений, выбора и обоснования оптимального варианта.

Математические методы, используемые для обоснования и выбора оптимальных решений, основаны на построении алгоритмической процедуры, обеспечивающей поиск оптимального решения за конечное число шагов.

Данная группа методов используется при достаточно полном и большом объеме количественно выраженной информации. В совокупности различные математические методы, объединенные общей задачей обоснования наилучших решений, получили название методов исследования операций.

Методы исследования операций разделяются на следующие четыре основные группы:

• Аналитические методы используются в тех случаях, где между условиями решаемой задачи и ее результатами можно установить аналитические, формульные зависимости. Данные методы могут базироваться на следующих теориях: теория вероятностей, теория марковских процессов, теория массового обслуживания, метод динамики средних. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Она применяется, когда условия, от которых зависит решение, имеют случайный характер. Теория марковских процессов применяется для описания операций, эволюция которых после любого заданного значения времени, не зависит от эволюции, предшествовавшей этому моменту времени, иными словами, для операций, развивающихся случайным образом во . Теория массового используется при массовых повторяющихся . В тех , когда можно зависимости между операции и результатом, исходя средних характеристик , то для оптимального решения метод динамики .
• Статистические методы на сборе, и анализе данных, полученных в результате действий, так выработанных искусственно, статистического моделирования. этим методам последовательный анализ метод статистических . При последовательном решения принимаются основе ряда , каждая из сразу же проверяется. Метод испытаний (метод -Карло) заключается том, что операций моделируется ЭВМ, учитывая присущие операциям .
• Математическое программирование следующих видов: , нелинейное и . Сюда же относят и сетевого планирования. условия выполнения описываются системой уравнений или , то применяется программирование. Метод программирования применяется, указанные зависимости нелинейный характер. программирование служит выбора наилучшего набора действий выполнения многоэтапных , когда результат последующего этапа от предыдущего. планирование предназначено составления рационального (предусматривающего решение в кратчайший и с результатами) выполнения , которая состоит большого числа действий.
• Теоретико-игровые методы служат для принятия решений в условиях неопределенности. Эти методы подразделяются на: теорию игр и теорию статистических решений. Теория игр используется в тех случаях, когда неопределенность обстановки вызвана сознательными (злонамеренными) действиями конкурентов или конфликтующей стороны. Теория статистических решений применяется тогда, когда неопределенность обстановки вызвана объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны, либо носят случайный характер. Исследование операций, направленное на решение экономико-производственных задач, является основой для математических методов моделирования производственных процессов в системах управления.[1]

При принятии управленческих решений помимо количественных результатов вычислений необходимо учитывать обстоятельства качественного характера, которые не могут быть формализованы.

Поэтому, выбор оптимального решения нередко приходится корректировать, используя методы обоснования решений на основе изучения опыта, интуиции, обобщения результатов, в том числе метод экспертных оценок.

На данный момент существует большое количество математических методов в принятии управленческих решений.

Данные способы выбора оптимального варианта действий и генерирования идей являются признанными во всем мире и эффективно применяются на практике.

Среди всех математических методов принятия решений наиболее распространены:

• математическое программирование;
• теория игр;
• теория статистических решений;
• теория массового обслуживания;
• метод причинно-следственного анализа;
• использование модели "дерево решений".[2]

Математическое программирование представляет собой теоретические принципы и аналитические методы решения различных задач, в которых, как правило, производится поиск экстремума (минимум или максимум) определенной функции при наличии ограничений, налагаемых на неизвестные. Наиболее разработанным и широко применяемым на практике является линейное программирование.

Оно включает аналитические методы решения таких задач, в которых ограничения и целевая функция выражены в линейной форме. Задачи, в которых отыскиваются минимальное и максимальное значение линейной функции при линейных ограничениях, называют задачами линейного программирования.

Существует целая классификация методов математического программирования. В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений их делят на:

а) Линейное программирование - функции ограничений, входящих в систему ограничений и целевая функция являются линейными (уравнение первого порядка)

б) Нелинейное программирование - одна из функций ограничений, входящих в систему ограничений или целевая функция являются нелинейными (уравнение высших порядков)

в) Целочисленное (дискретное) программирования – разновидность линейного программирования, которая подразумевает, что искомые значения должны быть целыми числами

г) Динамическое программирование - это раздел математики, который посвящен теории и методам решения многошаговых задач оптимального управления.[3]

В зависимости от имеющихся сведениях об изучаемом процессе, методы математического программирования делят на:

а) Стохастическое программирование – на начальном этапе известна не вся требуемая информация о процессе. Функции ограничений в таком случае являются случайными или же приходится принимать решения в условиях риска.

б) Детерминированное программирование – имеется вся необходимая информация о процессе.

Как уже было сказано выше, линейное программирование на сегодняшний день является наиболее разработанным и применяемым методом математического программирования.

Для задач, решаемых таким способом, разработаны многочисленные методы решения и соответствующее математическое обеспечение для различных ситуаций.

Для решения задач линейного программирования используется несколько методов, самыми применяемыми из которых являются симплекс-метод и графический метод.

Симплекс метод, который позволяет, отталкиваясь от исходного варианта решения задач, за определенное количество шагов получить оптимальный вариант, является наиболее удобным для решения подобных задач.

Каждый из предпринимаемых в данном случае шагов заключается в нахождении нового варианта, которому соответствует меньшее (при решении задач на минимум) или большее (при решении задач на максимум) значение линейной функции, чем значение этой же функции в предыдущем варианте.

Процесс продолжает повторяться пока не будет получен оптимальный вариант решения, который имеет экстремальное значение.

Таким образом, применяя данный метод на практике, принято считать, что оптимальным является план, который обеспечивает максимальный производственной эффект при заданном объеме материальных, сырьевых, трудовых ресурсов.

Максимальный производственный эффект определяется критерием оптимизации, который и определяет целевую функцию.

Наиболее типичными задачами, для решения которых используют симплекс-метод, являются: оптимальное планирование на предприятиях (планирование ассортиментного выпуска продукции), оптимальный набор исходного сырья, эффективное использование сырьевых, материальных, трудовых, финансовых и энергетических ресурсов, задачи оптимизации организации производства (транспортная задача).

Теория игр. В современной экономической обстановке, принимая управленческие решения, необходимо учитывать противоречивые интересы, относящиеся либо к различным лицaм или организациям, либо к различным аспектам рассматриваемого явления, либо к тому и другому.

В обычных экстремальных задачах речь, как правило, идёт о выборе определенного решения одним индивидом, и от этого выбора зависит результат, то есть определяется действиями только одного лица. В такую схему не укладываются ситуации, где решения, оптимальные для одной стороны, совсем не оптимальны для другой и результат решения зависит от всех конфликтующих сторон.

Для таких задач и характерен конфликтный характер, который не предполагает вражды между участниками, а лишь дает понять различия в интересах

Необходимость анализировать такого рода ситуации обусловила появление специального математического аппарата - теорию игр.

Цель теории игр – выработка рекомендаций для рационального поведения участников в  конфликтных ситуациях, то есть определение оптимальной стратегии каждого из них.

Игра отличается от реальной конфликтной ситуации тем, что проводится по определённым правилам.

Реальные конфликты, как правило, сложно поддаются формальному описанию, поэтому абсолютно любая игра является неким упрощением исходной задачи, в ней отражаются лишь основные, первостепенные факторы, отражающие суть процесса или явления.

Существует большое количество различных теоретико-игровых моделей, многие из которых широко применяются на практике.

Таким образом, практическая ценность теории игр состоит в том, что она позволяет смоделировать различные игровые ситуации и эксперименты, в частности деловые игры, позволяющие определить оптимальное поведение в критических ситуациях.

Перечисленные выше математические методы принятия решений отнюдь не являются единственными.

На сегодняшний день учеными разработано огромное количество таких способов, совершенствующих систему эффективного управления в организациях.

Математические методы играют огромную роль в функционировании крупных компаний и предприятий, переоценить их значимость трудно. Наука об управлении продолжает находиться в интенсивном поиске наиболее эффективных способов принятия решений, вскоре мир увидит принципиально новые математические методы управления.

Из всех экономических и финансовых задач принятия решений можно выделить следующие, в которых методы исследования операций наиболее эффективны:

• реинжиниринг бизнес-процессов,
• оптимизация продаж в рамках эластичности спроса,
• организация производства под заданный рынок сбыта.

Моделирование в менеджмента представляет механизм построения моделей управления . Целью моделирования извлечение новой в базах информации об объектах. Основные моделирования:

• экономико- моделирование;
• моделирование основе системного ;
• имитационное моделирование.[4]

помощи экономико- моделирования представляется формулировка проблемы виде математической .

Основные типы -математических моделей, на применении математического аппарата использующихся в :

1. Модели математического ;
2. Модели теории ;
3. Балансовые модели;
4. теории вероятностей математической статистики;
5. теории игр.

этапом формирования -математической модели постановка задачи, определением целей .

Следующим этапом границы рассматриваемой , принципов ее , необходимый уровень моделируемых процессов.

задачи охватывает оценки эффективности оригинала и ограничения на значения. Немаловажную имеет описание информации, циркулирующих оригиналом и средой, взаимосвязь элементов, описание на выделенные .

С необходимостью соответствия модели менеджмента большое имеет требование модели субъекта .[5]

В современной выделяют 4 основных экономико-математических :

• Аддитивные модели как алгебраическая отдельных показателей. качестве примера модели можно баланс товарной .
• Мультипликативные модели как произведение факторов (П= В, где - объем выпуска ; К – количество оборудования; В – продукции на оборудования).
• Кратные представляют собой отдельных факторов.
• модели выражаются сочетание ранее моделей. [6]

Таким , для максимизации процесса управления внедрении в экономико-математического необходимо четкое и понимание поставленных целей последовательная их , структурно формулируя реализуя разработанные .

Данная программа является целесообразной, .к. при  моделировании определяется путь реализации задач.

Экономико- моделирование включает себя следующие :

1) Постановка экономической , а в и ее анализ. На этапе формулируется проблемы, принимаемые и те , на которые получить ответы. помощью этой происходит выделение свойств моделируемого , изучение структуры и основных , которые связывают элементы и гипотезы, объясняющие и развитие .

2) Построение математической (математическая формализация), и последующий решения (допустимость, и другие ). Для построения необходимо определить параметров и моделей, т.. нефиксированных заранее , которые описывают или иную моделируемого явления. могут быть и эндогенными. – это переменные, задаются вне , то есть заранее. Эндогенные – переменные, которые в ходе по модели. – это коэффициенты модели. После списка переменных необходимо указать, значения переменных реализоваться, т.. указать множество значений переменных. множество часто с помощью ограничений на переменных. Эти выделяют среди значений переменных  значения. В случаях переменные принимать только неотрицательные значения. экономико-математических часто встречаются , являющиеся функциями переменных.

3) Математический модели. Целью этапа является общих свойств . Здесь нами чисто математические исследования. Наиболее момент – доказательство решения построенной . Аналитическое исследование по сравнению эмпирическим, то численным, имеет преимущество, что выводы сохраняют силу при конкретных значениях и внутренних модели.

4) Подготовка информации. Моделирование жесткие требования системе информации. то же реальные возможности информации ограничивают моделей, которые для практического . В процессе информации широко методы теории и математической .

5) Численное решение. этап содержит алгоритмов для решения задачи, есть непосредственное расчетов. Трудности этапа обусловлены, всего, большой экономических задач необходимостью обработки массивов информации.

6) численных результатов их применение. заключительном этапе рассматривается вопрос правильности и результатов моделирования степени практической . Анализ теоретических и численных , которые мы посредством модели, их с знаниями и , в действительности обнаруживать недостатки экономической задачи, формализации и информации.

Главным первого этапа является четкая конечной цели модели, а определение критерия, которому будет сравнение различных решения.

Критериями последующего сравнения решения могут :

а) максимизация эффекта товара ограничении совокупности ;

б) максимизация фирмы при , что качество не снизится;

) снижение себестоимости при условии, его качество снизится, затраты потребителя не ;

г) рост труда;

д) использования оборудования материалов;

е) оборачиваемости оборотных при условии, качество товара снизится и критерии не ; а также другие.

В , в качестве оптимизации может любой компонент , эффективности товара объема рынка, условии, что компоненты при не ухудшатся.[7] три вида математических моделей:

1. (аналитическое). При решении результат вид готовых для вычисления или отдельных по значениям процесса, где полученного решения только точностью по этим и может, принципе, быть угодно высокой. решение уравнений является предпочтительным, как явно формулы решения легко проанализировать и характер отдельных параметров поведение системы выявлять возможность ситуаций (к , в таких точках функция, решение, может разрыв, излом перегиб). Однако решение возможно очень редких .
2. Результат приближенного мы получаем некоторой погрешностью, не может до конца . Примером приближенного решения может графическое решение. приближенные методы основываться на уравнений модели, счет отбрасывания слагаемых или функций в по степеням параметра с ограниченного числа ряда (особенно сохраняется только член разложения, , чтобы задача линейной). Приближенное довольно часто результатом компромисса желанием описать явными формулами облегчения их и невозможностью для уравнений точное аналитическое . В некоторых приближенные решения исходными точками осуществления тех иных численных (напр., процессов приближений).
3. Численное обычно проводится основе статистических оптимизационных методов MS Excel. имеет вид формулы, а или таблицы , которые мы в результате компьютерной программы, некий алгоритм. решение вычисляется погрешностью, которая быть сделана угодно малой.

чаще можно численное решение, его анализ сложен.

Для поведения системы разных ситуациях каждый раз решение заново, так называемый эксперимент.

Таким , в современных применение методов анализа и воспроизводственных процессов, информационных технологий обработки эмпирических экспериментальных данных необходимым условием синтеза управленческих , обеспечивающих достижение целей.

Список литературы

1. Ахмедов А.Э., Смольянинова И.В., Шаталов М.А. Математические модели в системе повышения эффективности управления предприятием // Моделирование и наукоемкие информационные технологии в технических и социально-экономических системах. - Новокузнецк, 2016. С. 148-150
2. Дерунова А. М. Этапы построения экономико-математических моделей для принятия управленческих решений // Экономика. Менеджмент: современные проблемы и тенденции развития. 2017. №13. С. 3
3. Игнатьев А.И., Григорьев А.В., Лапшин А.Е. Математические методы как основа принятия эффективных управленческих решений // Новая наука: проблемы и перспективы. 2016. №115-1. С. 87-89
4. Иорамашвили С.К. Проблемы внедрения проектного финансирования // Устойчивое развитие науки и образования. 2016. № 1. С. 34-39.
5. Кекух М. Н. Экономико-математическое моделирование, как метод принятия решений в менеджменте // Государственная политика: методология, практика, направления совершенствования. – Орел, 2016. С. 237-240
6. Кулагова И.А., Коконин Д.А. Рациональность использования современных методов принятия решений в управленческой деятельности // Машиностроение России: инновационно-технологические и организационно-экономические проблемы развития. – Пенза, 2014. С. 41-47
7. Станчин И.М. Информационное обеспечение статистического исследования финансов предприятий // Устойчивое развитие науки и образования. 2016. № 1. С. 52-61.
8. Эддоус М., Стэнсфилд, Р. Методы принятия решений. - М.: ИНФРА-М, 2013.307с.

[1] Кулагова И.А., Коконин Д.А. Рациональность использования современных методов принятия решений в управленческой деятельности // Машиностроение России: инновационно-технологические и организационно-экономические проблемы развития. – Пенза, 2014. С. 41-47

[2] Игнатьев А.И., Григорьев А.В., Лапшин А.Е.  Математические методы как основа принятия эффективных управленческих решений // Новая наука: проблемы и перспективы. 2016. №115-1. С. 87-89

[3] Игнатьев А.И., Григорьев А.В., Лапшин А.Е.  Математические методы как основа принятия эффективных управленческих решений // Новая наука: проблемы и перспективы. 2016. №115-1. С. 87-89

[4] Ахмедов А.Э., Смольянинова И.В., Шаталов М.А. Математические модели в системе повышения эффективности управления предприятием // Моделирование и наукоемкие информационные технологии в технических и социально-экономических системах. - Новокузнецк, 2016. С. 148-150

[5] Иорамашвили С.К. Проблемы внедрения проектного финансирования // Устойчивое развитие науки и образования. 2016. № 1. С. 34-39.

[6] Станчин И.М. Информационное обеспечение статистического исследования финансов предприятий // Устойчивое развитие науки и образования. 2016. № 1. С. 52-61.

[7] Дерунова А. М.  Этапы построения экономико-математических моделей для принятия управленческих решений // Экономика. Право. Менеджмент: современные проблемы и тенденции развития. 2017. №13. С. 3