Математика

Задание 1.6.

2A-3B

Умножим матрицу на число: D = 2A

Умножим матрицу на число: E = 3B

Вычитание матриц: N = D - E

Ответ: 2*A-3*B = 

 A*B

Умножим матрицы: D = A x B

Ответ: A*B = 

 A*C

Умножим матрицы: D = A x C

Ответ: A*C = 

Задание 2.6.

Метод крамера

Запишем систему в виде:

B^T = (-2,1,1)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 1 • ((-3) • (-1)-1 • 1)-4 • (1 • (-1)-1 • (-1))+2 • (1 • 1-(-3) • (-1)) = -2
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = (-2) • ((-3) • (-1)-1 • 1)-1 • (1 • (-1)-1 • (-1))+1 • (1 • 1-(-3) • (-1)) = -6

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 1 • (1 • (-1)-1 • 1)-4 • ((-2) • (-1)-1 • (-1))+2 • ((-2) • 1-1 • (-1)) = -16

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 1 • ((-3) • 1-1 • 1)-4 • (1 • 1-1 • (-2))+2 • (1 • 1-(-3) • (-2)) = -26

Выпишем отдельно найденные переменные Х



Проверка.
1•3+1•8-1•13 = -2
4•3-3•8+1•13 = 1
2•3+1•8-1•13 = 1
Метод Гаусса

Решение СЛАУ методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (4). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (5). Умножим 2-ую строку на (7). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать так:
x₃ = -52/(-4)
x₂ = [-1 - (3x₃)]/(-5)
x₁ = [1 - (x₂ - x₃)]/2
Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Задание 3.6.

a)   

b)   

c)    

d)   

Уравнение каждой плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0. Так что наша задача по заданным координатам 3-ех точек плоскости найти коэффициенты A, B, C и D. Эти коэффициенты находятся по формулам:

 , где x, y, z - координаты наших точек, а 1-2-3 это номера точек A-B-C.

Соответственно находим эти коэффициенты и подставляем их в формулу.

Рассчитаем коэффициенты A, B, C и D по формулам, описанным выше. Найдем определители матриц. Коэффициенты:
A = (1) × (0) × (-1) + (-1) × (3) × (1) + (1) × (1) × (1) - (1) × (0) × (1) - (-1) × (1) × (-1) - (1) × (3) × (1) 
B = (1) × (1) × (-1) + (1) × (3) × (2) + (1) × (-2) × (1) - (1) × (1) × (2) - (1) × (-2) × (-1) - (1) × (3) × (1) 
C = (1) × (0) × (1) + (-1) × (1) × (2) + (1) × (-2) × (1) - (1) × (0) × (2) - (-1) × (-2) × (1) - (1) × (1) × (1) 
- D = (1) × (0) × (-1) + (-1) × (3) × (2) + (1) × (-2) × (1) - (1) × (0) × (2) - (-1) × (-2) × (-1) - (1) × (3) × (1) 
A = -6 
B = -4 
C = -7 
- D = -9 
Подставим коэффициенты. 
Уравнение плоскости: -6 x - 4 y - 7 z + 9 = 0

Задание 4.6.

 Найти предел:

Решение.

Найти предел:

Решение.

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x - 4). Найдем корни первого многочлена:

 x² -4 x + 0 = 0

D = (-4)² - 4 • 1 • 0 = 16

Найдем корни второго многочлена:

 x² -3 x - 4 = 0

D = (-3)² - 4 • 1 • (-4) = 25

Получаем: