Главная БЕСПЛАТНО

Матанализ

Контрольная работа № 1

I. Вычислить пределы, не пользуясь средствами дифференциального исчисления:

II. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных:

III. Построить график функции y = f(x), используя общую схему исследования функции.

Область определения функции:

$x\in~\left( -\infty ,\infty \right)$

Пересечение с осью абсцисс (OX):

Пересечение с осью ординат (OY):

$x=0,\quad f\left(x\right)=3$

Поведение функции на бесконечности:

Наклонная асимптота функции:

$y=1 \break$

Исследование функции на чётность/нечётность:

Производная функции равна:

${{2\,x+5}\over{x^2+x+1}}-{{\left(2\,x+1\right)\,\left(x^2+5\,x+3\right)}\over{\left(x^2+x+1\right)^2}}$

Нули производной:

$x=-{{\sqrt{3}}\over{2}}-{{1}\over{2}},~\break x={{\sqrt{3}}\over{2}}-{{1}\over{2}}~$

Функция возрастает на:

$x\in~\left[-{{\sqrt{3}}\over{2}}-{{1}\over{2}},{{\sqrt{3}}\over{2}}-{{1}\over{2}}\right]~$

Функция убывает на:

Минимальное значение функции:

Максимальное значение функции:

Построим график функции:

V. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

VI. Вычислить определенный интеграл.

$integral sqrt(x)\/(x-6) dx = 2 sqrt(x)-2 sqrt(6) tanh^(-1)(sqrt(x)\/sqrt(6))+constant$

$integral_25^49 sqrt(x)\/(x-6) dx = 4+2 sqrt(6) tanh^(-1)((2 sqrt(6))\/29) ~~ 4.8356$

Контрольная работа № 2

ЗАДАЧА 1.

5. Дана функция . Показать, что ;

Находим частные производные:

При нахождении ∂z/∂x считаем аргумент y постоянным:

При нахождении ∂z/∂y считаем аргумент x постоянным:

Находим вторые частные производные:

Найдем смешанные частные производные:

Для того, чтобы найти ∂²z/∂x∂y дифференцируем ∂z/∂x по у:

Подставим полученные значения:

x²∙() + 2xy()+ y²∙0 = (2y/x)-(2y/x) = 0

ЗАДАЧА 2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z в замкнутой области D. Сделать чертеж.

1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.

x-y = 0

-x = 0

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = 0

-y = 0

Откуда y = 0

Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x = 0

Количество критических точек равно 1.

M₁(0;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).

Вычисляем значения для точки M₁(0;0)

AC - B² = -1 < 0, то глобального экстремума нет.

ЗАДАЧА 3

Определить условные экстремумы функций

5. при

1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.
6 • x-3 = 0
4 • y = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

4 • y = 0
Откуда y = 0
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x = 1/2
Количество критических точек равно 1.
M₁(1/2;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).
Вычисляем значения для точки M₁(1/2;0)

AC - B² = 24 > 0 и A > 0 , то в точке M₁(1/2;0) имеется минимум z(1/2;0) = 1/4
Вывод: В точке M₁(1/2;0) имеется минимум z(1/2;0) = 1/4;

ЗАДАЧА 4.

5. Вычислить двойной интеграл , где область D есть квадрат ,

ЗАДАЧА 5. Найти общее решение задачи Коши

Представим в виде:
-y/(x+2)+y' = x²+2 • x
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y' = u'v + uv'.
-u • v/(x+2)+u • v'+u' • v = x²+2 • x
или
u(-v/(x+2)+v') + u' • v= x²+2 • x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(-v/(x+2)+v') = 0
2. u' • v = x²+2 • x
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
-v/(x+2)+v' = 0
Представим в виде:
v' = v/(x+2)

Интегрируя, получаем:

ln(v) = ln(x+2)
v = x+2
2. Зная v, Находим u из условия: u' • v = x²+2 • x
u' • x+2 • u' = x²+2 • x
u' = x
Интегрируя, получаем:

Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C+x²/2) • (x+2)
или
y = C • x+2 • C+x³/2+x²
Найдем частное решение при условии: y(-1) = 3/2
y(-1) = C+1/2 = 3/2
Откуда:
c₁ = 1
Таким образом, частное решение имеет вид:
y(-1) = x³/2+x²+x+2

ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

ЗАДАЧА 7. Исследовать на сходимость ряд

5. = -1,5483, следовательно ряд сходится.

ЗАДАЧА 8. Найти область сходимости степенного ряда

Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: ∑a_nxⁿ
где a_n - формула числовых коэффициентов. Для данного ряда:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:

R - радиус сходимости. Вычислим его:

Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-5;5)

Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -5

Получаем ряд:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница выполняется.

Ряд сходится, значит, x = -5 - точка сходимости.

При x = 5

получаем ряд:

числовой знакоположительный ряд.

Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 5 - точка расходимости.

Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [-5;5).

Setup.ru: Создай и раскрути свой сайт бесплатно