Задача №1

 

Исходные данные: схема е- 3.

Уголок а – 0 125 х 125 х 12

Швеллер д – 6 – 18а

         Из ГОСТ 8509-72 для равнобокового уголка.

в = 125 · 10^-3 м    d = 12 · 10^-33 м А_L = 28.5 · 10^-4 м²

Ух = 423 · 10^-8 м⁴                        I_хе = 670 · 10^-8 м⁴                    I_уо = 174 · 10^-8 м⁴          Z₀ = 3.53 · 10^-2

 Из ГОСТ 8240- 72 для швеллера №18а

h = 180 · 10^-3 м   в = 70 · 10^-3 м      в = 5,1 · 10^-3 м

Ас = 20,7 · 10^-4 м²        Ух = 1090 · 10^-8 м⁴            Уд = 86 · 10^-8 м⁴ Z = 1.94 · 10^-2 м

1.     Схеме масштаб 1:2.

2.     Общая площадь сечения Асеч = Ауг + Аше = 28,5 · 10^-4 + 20,7 · 10^-4 = 49,2 · 10^-4 м².

3.     Определение центра тяжести сечения относительно осей Хшв и Ушв

Ус =  = 31.7 · 10^-3 м = 31,7 мм

Хс =  = 26 · 10^-3 м = 26 мм

4.     Определение моментов инерции относительно осей Хс и Ус.

Ixc = Ixceг + Ауг · α²_уг + Ix шв + Ашв · α²_шв = 670 · 10^-8 + 28,9 · 10^-4 (23 · 10^-3) + 1090 · 10^-8 + 20,7 · 10^-4 (31,7 · 10^-3)² = 2113 · 10^-8 м⁴

Iдс = Ieс уг + Ауг · в²_уг + Iус шв + Ашв · α_ш в_м = 248 · 10^-8 + 28,9 · 10^-4 (23 · 10^-3) (26 · 10^-3) + 0 + 20,0 · 10^-4 (31,7 · 10^-3) (55 · 10^-3) = 775 · 10^-8 м⁴,

где Ixд уг =  10^-8 = 248 · 10^-8 м⁴

5.     Положение главных центральных осей

 = -2.74

м⁴

м⁴     Imin = 10006 ·  м⁴

Главные радиусы инерции

i_max =    = 7.34 · 10^-2

i_min =   = 4.52 · 10^-2 м

проверка:

Imax + Imin = Ixc + Iyc

2655 · 10^-8 + 1006 · 10^-8 = 2113 · 10^-8 + 1549 · 10^-8

3661 · 10^-8 = 3662 · 10^-8 (м⁴)

Imax > Ixc > Iyc > 0

2655 · 10^-8 > 2113 · 10^-8 > 1006 · 10^-8 > 0

Проверки выполняются.

 

Задача №2

063 063

абв где

схема е – з F = 2см² – а – 0   а = 0,1м     в = 0,16м   с = 0,13 м   Р = 26кН    t = 20кН/м

Участок 1 0≤ z₁ ≤ c = 0.13м            N₁ = -P = -26кН

σ₁ = N₁/F =  = -130Мпа

участок 2   сечение 0≤ z₂ ≤ c = 0.16м       N₂ = Р-P = 0   σ₂ = 0

участок 3 сечение 0≤ z₃ ≤ c = 0.1м           N₃ = -Р+P –tz₃

z₃ = 0 N₃ = 0         z₃ = 0,1м  N₃ = -20· 10³ · 0.1 = -2 · 10³  

σ =  = -5 · Мпа

перемещение сечения I-I

∆l_I-I =  = 15 · 10^-6 м

 

Задача №3

063 063

Схема 3.    А₁ = 11 · 10^-4 м²  А₂ = 6 · 10^-4 м²    а = 1,6 м    в = 1,0 м    с = 1,3 м     l₁ = 1м     l₂ = 2.2 м    σ_Т =                       240 Мпа   Е = 2 · 10⁵ Мпа

[σ] = σ_т/к    к = 1,5

Уравнения равновесия статики

1)    ΣZ = 0        He = 0

2)    ΣY = 0       N₁ + N₂ – F + R_E = 0     ZME = 0

3)    N₁ · 3.9 + N₂ · 2.3 – F · 1.3 = 0

Система статически неопределима. Ставим дополнительное уравнение совместности деформаций.

     ∆l₂ =  · 2.6 = 0.6 +

N₁

N₂

N₂

N₂ =  N₁    N₂ = 0.16 N₁

Из уравнения 3 N₁ · 1.9 + 0.16 · 2.3 N₁ – F · 1.3 = 0

4.27 N₁ – F · 1.3 = 0     N₁ = 0.3 F

N₂ = 0.16 N₁ = 0.16 · 0.3 F = 0.048 F

Определение величины F, при которых напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести

σ₁ = N₁/A₁ =  = 0,027 · 10⁴ F

σ₂ = N₂/A₂ =  = 0,008 · 10⁴ F

В тяге 1 напряжение достигнет предела текучести раньше и

0,027 · 10⁴ · А = 24 · 10⁴кПа          F =  = 890 кН

Определение предельного значения Fпр при исчерпании несущей способности тяг

N_{1 пр}  = А₁ · σ_т = 11 · 10^-4  · 24 · 10⁴ = 264 кН

N_{2 пр} = А₂ σ_т = 6 · 10^-4 · 24 · 10^-4 = 144 кН

Из уравнения 3

N_{1 пр} · 3,9 + N_{2 gh} · 2.3 – F_пр · 1,3 = 0

F_пр =  = 1047 кН

Определение грузоподъемности по методу допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок.

По методу допускаемых напряжений

[σ] = σ_т/к =  = 16 · 10⁴ кПа    0,027 · 10⁴ [F] = 16 · 10⁴ кПа

[F] =  = 592 кН

По методу разрушающих нагрузок

[F] = Fпр/к = 1047/1,5 = 698кН – по методу разрушающих нагрузок грузоподъёмность выше.

 

Задача №4

 

Схема 3     а = 0,1м     с = 0,16м    l = 0.13 м   М₁ = 200Нм        М₂ = 2600нМ      М₃ = 2300нМ     М₄ = 2000нМ      [τ] = 45Мпа         п/в = 1,5    а = 8 · 10⁴Мпа     [Q] = 1.8с/м.

 

Используя метод сечения, определим Мкр на каждом участке.

Мкр_I = M₄ = 2000Нм

Мкр_II = M₄ – M₃ = 2000 – 2300 = -300Нм

Мкр_III = M₄ – M₃ + M₂ = 2000 – 2300 + 2600 = 2300Нм

Мкр_IV = M₄ – M₃ + M₂ – M₁ = 2000 – 2300 + 2600 – 2000 = 300Нм

Определение размеров поперечного сечения валика из условий прочности:       d ≥  – для круглого сечения.

d ≥  = 6.4 · 10^-2м = 64мм

из условия жесткости: d ≥

d ≥  = 6.3 · 10^-2м = 159мм

Принимаем d = 64мм

Распределение касательных напряжений по сечению велико τ =          S = 0 τ = 0         S =           Yρ =     ρ = 32мм

У_ρ =  = 165 · 10^-8м⁴

τ_max =  = 45 Мпа

Построение эпюры угла закручивания

φ_Е = 0         φ_с = = 0.023 · 10^-2 раб

φ_D = φ_{c +} = 0.25 · 10^-2 раб

φ_В = φ_{D +} = 0.213 · 10^-2 раб

φ_A = φ_{В +} = 0.364 · 10^-2 раб

 

Задача №5

 

Схема I – 6          Cхема II – 3

c/a = 1.6     p/qa = 2.0   m/qa² = 0.6 a = 1.5м     q = 16кН/м с = 1,6 · 1,5 = 2,4м       Р = 1,6 · 1,5 · 2 = 48кН      m = 16 · 1.5² · 0.6 = 21.6кНм

 

 

         Участок 1 0 ≤ х₁< 1,5м        Q₁ = -qx₁    x₁ = 0                   Q₁ = 0         x₁ = 1.5      Q₁ = -16 · 1.5 = -24кН М₁ = -m – q x₁²/2 x₁ = 0         M₁ = -m = -21.6кНм     х₁ = 1,5      М₁ = -21,6 – 16 1,5²/2 = -39,6кНм

         Участок 2  1,5 ≤ х₂ ≤ 3,9м

Q₂ = -qa + P = -16 · 1.5 + 48 = 24кН

М₂ = -m – qa (a/2 + c) + P · 2.4 = -21.6 – 16 · 1.5 (1.5/2 + 2.4) + 48 · 2.4 = 18кНм

         Подбор круглого сечения. момент сопротивления w_x = Mмелк/[δ]

W_x =  = 0.141 · 10^-3 м³         w_x =

d =  = 1.1 · 10^-1м = 110 мм

Схема II-3

Определение реакций опор ΣМ_А = 0

-q · 1.5 · 1.5/2 + m + g · 7.8 · 7.8/2 – R_В · 7,8 + Р  · 10,2 = 0

R_в =  = 126кН.

ΣМ_В = 0

-q · 9.3 · 9.3/2 + R_A · 7.8 + m + Pв · 2,4 = 0

R_A =  = 171кН

Проверки ΣУ = 0

R_A – q · 9.3 + R_в – З = 171 – 16 · 9,3 + 126 – 48 = 0

Построение эпюр М и Q

Участок 1  0 ≤ х₁ ≤ 1,5м        Q₁ = -qx₁    x₁ = 0         Q₁ = 0         x₁ = 1.5      Q = -16 · 1.5 = -24кН         М₁ = -q x²/2         x₁ = 0         M₁ = -16 1.5²/2 = -18кНм

Участок 2  0 ≤ х₂ ≤ 4,5 Q₂ = -qa + R_A – q (x₂ – 1.5)    x₂ = 0         Q₂ = -16 · 1.5 + 71 = 47кН М₂ = -16 · 1,5 · 3,75 + 71 · 3 – 16 · 3 · 1,5 = 53кНм

Участок 3  Q₃ = 48кН  М₃ = -Р · х₃          х₃ = 0         М₃ = 0        х₃ = 2,4      М₃ = -48 · 2,4 = 115,2кНм

Участок 4  0 ≤ х₄ ≤ 4,8 Q₄ = P – Rв + qx₄ = 48 – 126 = -78кН.    Х₄ = 4,8м.  Q₄ = 48 – 126 + 16 · 4.8 = 0         M₄ = -48 · 7.2 + 120 · 4.8 – 16 · 4.8 · 2.4 = 75кНм

Подбор сечения

Wx = Mmax/[G] =  = 0.576 · 10^-3м³ = 576 · 10^-6м³

Принимаем I №33        W₁ = 597 · 10^-6 м³

 

Задача №6

 

Построим эпюры единичных сил М₁ (Р₁ – 1); М₂ (Р₂ = 1); М₃ (m = 1)

Единичная эпюра Р₁ = 1       ΣМв = 0     -R_A · 7.8 + P₁ · 4.8 = 0

R_A =  = 0.615

Единичная эпюра Р₂ = 1       ΣМв = 0     -R_A · 7.8 + P · 2.4 = 0

R_A =  = +0.3

ΣМa = 0     -R_в · 7.8 + P · 10,2 = 0

R_в =  = 1.3

Единичная эпюра m₁ = 1      ΣМa = 0     m –R_в • 7.8 = 0    R_в = 1/7.8 = 0,128

ΣМв = 0     -R_A · 7.8 + m = 0 R_A = -0.128

Перемещение с помощью интеграла Мора

δ₁ = dx     Для I №33  Ix = 9840 · 10^-8 м³

Е = 2 · 10⁵ Мпа.  Для определения  применим формулу Симпсона  = (

Перемещение δ₁ = -  = -25,6 · 10^-3м

 =

δ₂ =  = 5,6 · 10^-3м.

 3 2,4 = 52.

φ₃ =  = 2,64 · 10^-3 раб.

 

Задача №7

 

Схема 3     а = 0,4м     в = 0,5м     с = 0,3м      D₁ = 0.3      D₂ = 0.5      N = 17кВт  n = 350об/мин Ст 35          G_т = 320Мпа       к = 1,5

Определение нагрузок, действующих на вал.

Крутящий момент Мкр =  = 0.46кНм.

Р =  = 3.06кН

Рверт = 0   Ргор = Р = 3,06кН

t =  = 1.84кН

Q = 4t = 4 · 1.84 = 7.36кН

Qгор = 7,36 · cos 60°  = 3.68кН

Qверт = 7,36 · 30° = 6,4кН

Построение эпюр.

Горизонтальная плоскость.  ΣМс = 0

- Р · 0,9 + Rв · 0,5 + Q_r · 0.3 = 0

R_В =  = 3,3кН

ΣМ_В = 0     -Р · 0,4 – 12с · 0,5 + Q_r · 0.8 = 0

R_c = кН

Проверка ΣУ = 0         -Р + R_В + R_C – Q_r = -3.06 + 3.44 + 3.9 – 3.68 = 0

M_A = 0       M_B = - P · 0.4 = - 3.06 · 0.4 = -1.22кНа

М_Р = 0        М_С = -Q_к · 0,3 = -3,68 · 0,3 = -1,1кН

Вертикальная плоскость       ΣМв = 0

- R_C· 0,5 + Q_в · 0.8 = 0

R_с =  = 10,24кН

ΣМ_с = 0      -R_в · 0,5 + Q_в · 0.3 = 0

R_в = кН

Проверка ΣУ = 0         -Р + R_В + R_C – Q_r = -3.06 + 3.44 + 3.9 – 3.68 = 0

M_A = 0       M_B = 0 М_С = -6.4 · 0,3 = -1,92кН M = 0

Приведенный расчетный момент

М_пр =  = 2,4кНм

Допускаемое напряжение [G] = δ_x/к = 320/1,5 = 213Мпа

Диаметр вала d =

d =  = 4.9 · 10^-2м.

 

Задача №8

 

 

[δ] = 160Мпа = 160 000кн/м²         Схема 3     з = 9кН      l = 0.95м    Ст5.

Момент инерции относительно координатных осей

I_x = I_y =  = 20.014 ɤ⁴

Площадь сечения F =  = 0.168²

Радиус инерции i_x =  = 0.298

λ_max =  = 2.29/8

Принимаем ɤ = 0,02м  λ = 2,29/0,02 = 114,5

λ = 110       φ = 0,43

λ = 120       φ = 0,37     λ = 114,5    φ = 0,43 - = 0,403

σ =  = 350Мпа > [σ] = 160 Мпа

Принимаем ɤ = 0,04м  λ = 2,29/0,04 = 57,5

λ = 50         φ = 0,86

λ = 60         φ = 0,82     λ = 57,5      φ = 0,86 -  · 7,5 = 0,85

σ =  = 159 < 160Мпа.

Получили ɤ = 0,04м     d = 0.04 · 0.6 = 0.024м

Так как для Ст5 Х_изд = 92

λ = 57,5 < λ_изд, то для вычисления критических сил применяем формулу Ясинского Ркр = F (a – вλ_max). Для Ст 5 а = 343Мпа         в = 1,13Мпа

Р_кр = 0,16 · (4 · 10^-2)² · (343 – 1,13 · 57,5) · 10⁶ = 71кН

Коэффициент запаса устойчивости

n_y = P_кр/Р = 71/9 = 8

Сечение в масштабе 2:1

 

Задача №9

 

D = 0.050м d = 0.0038м                  Р_max = 190кН       Р_min = 70кН                   τ_т = 940Мпа      τ_-1 = 460Мпа       τ₀ = 800Мпа        к_r = 1.09     β = 0.85      E_r = 0.97.

Определение максимального τ_max и минимального τ_min напряжений τ = к ,

где    к =      Сп = ɤ/d = 13.15  к =  = 1,1

τ_max =  = 485Мпа.

τ_min =  = 178Мпа

Коэффициент асимметрии    R = τ_min/ τ_max = 178/485 = 0.37.

Определение среднего τ_m и амплитудного τ_а значений

τ_m =  = 331Мпа.

τ_а = =  = 153Мпа.

Определение координат точек схематизированной диаграммы

ψ =  = 0,15

к_ɤ =  = 1,32

Координаты точки В

а =  = 667Мпа.

в =  = 273Мпа.

Коэффициенты точек:

А (О; r_-1/к_∆ = 460/1,32 = 348Мпа)

В (а = 667Мпа; l = 237Мпа)

С (r_т = 331ИПа; r_e = 153Мпа)

Масштаб в 1см – 100Мпа.

Коэффициент запаса n_R = ON/OM = 63/36 = 1.75

Аналитический расчет n_R =  = 1,8

Разница в пределах допустимой погрешности.