Математика
Задача 1
Даны координаты вершин треугольника: A(-8,4), B(4,-5), C(2,9).
1. Длина сторон треугольника.
Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:
2) Уравнение сторон
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -3/4x -2 или 4y + 3x +8 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 1/2x + 8 или 2y -x - 16 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -7x + 23 или y + 7x - 23 = 0
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между векторами AB(12;-9) и AC(10;5)
г = arccos(0.45) = 63.440
4) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину C
y = 4/3x + 19/3 или 3y -4x - 19 = 0
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(2;9) и прямой AB (4y + 3x +8 = 0)
Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой C(2;9) и точкой D(-4;1).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
5) уравнение окружности, для которой СD диаметр:
R= CD/2=10/2 = 5
Решив систему уравнений 4y + 3x +8 = 0; 3y -4x - 19 = 0 получаем x = 1, y = -4, т.е. D (1;-4)
Найдем координаты центра окружности, точки Е.
Х= (2+1)/2=1,5 y=(9-4)/2=2,5
Тогда получаем уравнение окружности следующего вида:
(х-1,5)2+(y-2,5)2 = 25
Задача 2.
Даны координаты: A(-2,1,-2), B(3,0,-2), C(1,4,2)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 3-(-2); Y = 0-1; Z = -2-(-2)
AB(5;-1;0)
AC(3;3;4)
BC(-2;4;4)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
2) Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AB(5;-1;0) и AC(3;3;4):
г = arccos(0.404) = 66.1980
3) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору AB
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x0) + m(y- y0) + n(z- z0) = 0
Координаты точки C(1;4;2)
Координаты вектора AB(5;-1;0)
5(x - 1) + (-1)(y - 4) + 0(z - 2) = 0
Искомое уравнение плоскости:
5x - y-1 = 0
Задача 3.
Метод Крамера
Запишем систему в виде:
BT = (1,-7,0)
Определитель:
∆ = 1 • ((-3) • (-2)-1 • (-1))-2 • (2 • (-2)-1 • (-3))+4 • (2 • (-1)-(-3) • (-3)) = -35
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
1 |
2 |
-3 |
|
-7 |
-3 |
-1 |
|
0 |
1 |
-2 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • ((-3) • (-2)-1 • (-1))-(-7) • (2 • (-2)-1 • (-3))+0 • (2 • (-1)-(-3) • (-3)) = 0
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
1 |
1 |
-3 |
|
2 |
-7 |
-1 |
|
4 |
0 |
-2 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • ((-7) • (-2)-0 • (-1))-2 • (1 • (-2)-0 • (-3))+4 • (1 • (-1)-(-7) • (-3)) = -70
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
-3 |
-7 |
|
4 |
1 |
0 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • ((-3) • 0-1 • (-7))-2 • (2 • 0-1 • 1)+4 • (2 • (-7)-(-3) • 1) = -35
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Проверка.
1•0+2•2-3•1 = 1
2•0-3•2-1•1 = -7
4•0+1•2-2•1 = 0
Метод обратной матрицы
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B:
BT=(1,-7,0)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=1•(-3•(-2)-1•(-1))-2•(2•(-2)-1•(-3))+4•(2•(-1)-(-3•(-3)))=-35
Итак, определитель -35 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆1,1=(-3•(-2)-(-1•1))=7
∆1,2=-(2•(-2)-(-3•1))=1
∆1,3=(2•(-1)-(-3•(-3)))=-11
∆2,1=-(2•(-2)-(-1•4))=0
∆2,2=(1•(-2)-(-3•4))=10
∆2,3=-(1•(-1)-(-3•2))=-5
∆3,1=(2•1-(-3•4))=14
∆3,2=-(1•1-2•4)=7
∆3,3=(1•(-3)-2•2)=-7
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X
X=A-1 • B
XT=(0,2,1)
x1=0 / (-35)=0
x2=-70 / (-35)=2
x3=-35 / (-35)=1
Проверка.
1•0+2•2-3•1=1
2•0-3•2-1•1=-7
4•0+1•2-2•1=0
Задача 4
F(x,y)=x*y+ey
Решение.
Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
или
Задача 5
Дано:
Y= ln(x2 – 6x +10)
1. Область определения функции:
xϵ(- ∞; ∞)
2. Пересечение с осью абсцисс (OX):
Y= ln(x2 – 6x +10) = 0 <=> x=3
3. Пересечение с осью ординат (OY):
X=0, f(x) = ln 10
4. Поведение функции на бесконечности:
5. Исследование функции на чётность/нечётность:
6. Производная функции равна:
7. Нули производной:
х=3
8. Функция возрастает на:
9. Функция убывает на:
![$x\in~\left( -\infty ,3\right]~$](file:///C:/Users/USER/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image011.png){kind=small}
10. Минимальное значение функции:
11. Максимальное значение функции:
y = ln(x^2-6*x+10)
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Предел равен ∞, следовательно, наклонные асимптоты функции отсутствуют.
Построение графика функции
Задача 6
1.
2.
Задача 7
z = 9x2+3x+9xy-y3+2
1. Найдем частные производные.
2. Решим систему уравнений.
18x+9y+3 = 0
9x-3y2 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = -1/2y-1/6
-3y2-9/2y-3/2 = 0
Откуда y1 = -1; y2 = -1/2
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x1 = 1/3; x2 = 1/12
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:
Откуда x1 = 1/12; x2 = 1/3; x3 = 1/12; x4 = 1/3
Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1 = -1/2; y2 = -1; y3 = 1/2; y4 = 1
Количество критических точек равно 3.
M1(1/3;-1), M2(1/12;-1/2), M3(1/3;1)
3. Найдем частные производные второго порядка.
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(1/3;-1)
AC - B2 = 27 > 0 и A > 0 , то в точке M1(1/3;-1) имеется минимум z(1/3;-1) = 2
Вычисляем значения для точки M2(1/12;-1/2)
AC - B2 = -27 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M3(1/3;1)
AC - B2 = -189 < 0, то глобального экстремума нет.
Вывод: В точке M1(1/3;-1) имеется минимум z(1/3;-1) = 2;
Задача 8
А) 
Б) y’’-4y’-5y= -9xe2x, Y(0)=1 y,(0) = 0
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -4 r - 5 = 0
D = (-4)2 - 4 • 1 • (-5) = 36
Корни характеристического уравнения:
r1 = 5
r2 = -1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e5x
y2 = e-x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = -9x•e2x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = -9•x, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные:
y' = A•e2x+2(B+A•x)•e2x
y'' = 4•A•e2x+4(B+A•x)•e2x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -4y' -5y = (4•A•e2x+4(B+A•x)•e2x) -4(A•e2x+2(B+A•x)•e2x) -5((Ax + B)e2x) = -9x•e2x
или
-9•B•e2x-9•A•x•e2x = -9x•e2x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: -9B = 0
x: -9A = -9
Решая ее, находим:
A = 1;B = 0;
Частное решение имеет вид:
y* = (x )e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при условии: y(0) = 1, y'(0) = 0
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную:
y' = -c2•e-x+2x•e2x+e2x+5c1•e5x
Поскольку y'(0) = 1-c2+5c1, то получаем второе уравнение:
1-c2+5c1 = 0
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
1-c2+5c1 = 0
которую решаем методом исключения переменных.
c1 = 0, c2 = 1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
