Теоретическая механика вариант 3
Задача С.1.3.
R = 10 кН; М = 4 кНм q = 3 кН/м l = 1м а = 45°
Освободимся от связей, заменив их реакциями опор. Приведем распределённую нагрузку q к равнодействующей Q.
Составим уравнение равновесия
ƩFkx = 0; RAX - RBX = 0
RBX = RB · cos 45°
RAX = RB · cos 45°
ƩFky = a RAY – Q – G + RB · cos45° = 0
ƩMA (FK) = 0
Q · 2l + Q · 3l + M – RB · cos45° · 6l = 0
Rв = 
Rax = Rb cos45 = 11 · 0.7 =7.7 кН
RAY = Q + G – RB · cos45° = 6 + 10 – 11 · 0.7 = 8.3 кН
Ответ: RAХ = 7,7 кН; RAY = 8.3 кН Rb = 11 кН.
ЗадачаС 2.3
Р = 3кН, М = 4,8 кНм q = 2 кН/м а = 2,8 м в = 1,5 м l = 1.2 м a = 30°
Разрежем систему по шарниру С на 2 части. Рассмотрим равновесие левой части. Используем вместо связей реакции М1.
ƩFkx = 0 RВX – RСX = 0 RBX = RB · cos 30°
ƩFky = 0 RВY + Q + RСУ = 0 RВY = RB · cos 60°
ƩMВ (FK) = 0 -M – Q · (1.5 – 0.6) – Rcy · 1.5 = 0
Rcy = 
– направление вниз.
Rву = -Q – Rcy = -2.4 – (-4.64) = 2.24 кН
RB = RBY / cos60° = 2.24 / 0.5 = 4.48 кН
Rcx = Rbx = RB · cos30° = 4.48 · 0.866 = 3.88 кН
Рассмотрим равновесие правой части
ƩFkx = 0 RСX + Р cos30° - RAX = 0
ƩFky = 0 RCY – RAУ = 0 RВY = RB · cos 60°
ƩMA (FK) = 0 -MA + P cos30° - P cos60° · a + RCX · 2a = 0
Rax = Rcx + P cos30° = 3.88 + 3 · 0,86 = 6.46 кН
Ray = Rcy = 4.64 кН
МА = 3 · 0,86 · 2,8 – 3 · 0,5 · 2,8 + 3,88 · 2 · 2,8 = 12 кНм
Ответ: RB = 4.48 кН; RAХ = 6.46 кН; RAY = 4.64 кН МА = 12 кНм.
Задача С 3.3
Стержни 2,9,4 и 1,6. Р1 = 60 кН l2 = 70 кН
Определение реакции опор.
ƩFkx = 0 - RАX + Р2 = 0 RАX = Р2 = 60 кН
ƩFky = 0 RАY + RДУ – Р1= 0 RВY = RB · cos 60°
ƩMА (FK) = 0 Р2 · а – RDY · 3a + P1 · a= 0
RDy = 
RAу = - Rxy + P1 = -43.3 + 60 = 16.7 кН
Определение усилий в стержнях 2.9.4 способом Риттера. Сечение I-I.
ƩFkx = 0 -S2 – S4 cos45° = 0
Ʃ Fky = 0 S9 + S4 cos45° + RDY = 0
ƩMc (Fk) = 0
-RDY a – S4 · cos45° · a = 0
S4 = -
= -62 кH – cтержень стат.
S2 = – S4 · cos45° = - (-64) · 0.7 = 43.3 кН
S9 = - S4 · cos45° - RDY = - (-64) – 43.3 = 21.7 кН
S10 = 0 S5 = 146/0.43 = 339 кН
Определение усилий в стержнях 1 и 6 методом вырезания узлов. Узел А.
ƩFx = 0
-RAX + S6 cos45° + S1 = 0
ƩFky = 0 RAY + S6 cos45° = 0
S6 = -RAY/ cos45° = -16.7/0.7 = -23.9 кН – стержень сжат.
S1 = RAX - S6 cos45° = 60 – 23.9 · 0.7 = 43.3 кН
Ответ: S1 = 43,3 кН S6 = -23,9 кН S2 = 43,3 S4 = -62 кН S9 = 21,7 кН
Задача С4.3.
F = 200H H = 300 H M = 60 Hм а = 1м
Освободим систему от связей, заменив их реакциями, и составим уравнения равновесия.
ƩFx = 0 Bx + Ax = 0
ƩFy = 0 Ay + By - Cy + F cos45° = 0
ƩFz = 0 Az – P = 0
ƩFx(Fk) = - Cy · 1.2 a + By · a + F cos45° · 2a= 0
ƩFy (Fk) = -Bx · a + P · a = 0
ƩFz(Fk) = Cy · a - F cos45° · a = 0
Cy = F cos45° = 200 · 0.7 = 140 H
Bx = P = 300 H
By = 
140 · 1.2 – 200 · 0.7 · 2 = -112 Н
Аz = P = 300 Н
Aу= -Ry + Cy – F cos45° = - (-112) + 140 – 200 · 0.7 = 112 Н
Аx = Bx = 300 Н
Ответ: Ах = 300 H; Bх = 300 Н Вy = -112 Н Аz = 300 Н, Cу = 140 Н Ау = 112 Н
Задача К 1.3.
х = 6t2 -3 y = -3t t = 1c
Исключим параметр t из уравнений
t = y/3 x = 6y2/9 -3; x = 
– 3 – уравнение параболы.
Масштаб в 1 см - 1 ед.
При t = 1c.
х = 6· 12 - 3 = 3 у = 3 · 1 = 3
Скорость точки М (3;3)
vx = ẋ = 12t t = 1 с = vx = 12 см/с
vy = ẏ = 3 t – 1c vy = 3 см/с
v = 
= 12,36 см/с
Масштаб 1 см – 2 ед.
Ускорение точки М
ах = ṽх = 12 см/с2 ау = ṽу = 0
а = 
= 12 см/с2
Масштаб в 1 см – 2 ед.
Касательное ускорение точки М (3;3).
аr = 
= 11,65 см/с2
Нормальное ускорение
аn = 
= 2,9 cм/с2
Радиус кривизны
ρ = V2/an = 12,362/2,9 = 53 см
Задача К 2.3.
N = 100 об n = 1200 об/мин
w = w0 – Et (1)
φ = φ0 + w0 t - 
(2)
из (1) w = 0 w0 = 
Et = tw0 = +
из (2) 2πN = w0t - 
t = 
t
t = 
= 10 c.
Задача К 3.3.
О1А = L1 = 0.4 м АВ = L2 = 1.4 м ДЕ = L3 = 1.2 м O2В = L4 = 0.6 м АД = ДВ
W1 = woa = 4 с-1 Масштаб в 1 см – 0,2 м.
Точка РАВ - мгновенный центр скорости звена АВ
РАВ А┴ VA PABB┴ VB PABД┴ VД
Точка РДЕ - мгновенный центр скорости звена ДЕ
РДЕ Е ┴ VЕ PDE D ┴ VD
Линейная скорость точек
VA = w1 · OA = 4 · 0.4 = 1.6 м/с.
Угловая скорость звена АВ
W2 = 
= 1,32 1/с.
Скорость точки В VВ = W2 · PAB · B = 1.32 · 1.4 · sin30° = 0.93 м/с.
Скорость точки D VD = W2 · PAB · D = 1.32 · 1.4 · sin30° = 0.93 м/с
Угловая скорость звена ДЕ
W3 = 
0,77 1/c.
Линейная скорость точки Е
VE = w3 · PDE · E = 0,77 · 1,6 = 1,23 м/с.
Угловая скорость кривошипа О2В
WO2B = w4 = 
= 1.55 1/c.
Определение ускорения точки В.
или
+ 
= 
+ 
+ 
+ 
(1)
= 1.44 см/с2 направлено ст В к О2 по О2В.
┴ О2В – модуль неизвестен.
= 
1,62 / 0,4 = 6,4 см/с2 направлено от А к О1, по АО1
= 0, т. к. w1 – const = E1 = 
= 0
= 
0.932/1.4 = 0.617 см/с2 направлено от В к А.
┴ ВА – модуль неизвестен.
Спроектируем уравнение 1 на ось АВ
cos30 = 
cos30° +
= 5.45 м/с2
Ускорение точки В
QВ = 
= 5.63 м/с2.
Задача К.4.3.
w = 2 1/c М0М = 5t2 м/с t1 = 2 c.
Абсолютная скорость V = 
Относительная скорость V2 = M0 M = 10t. t = 2 с V2 = 10 · 2 = 20 м/c
Переносная скорость Ve = w · M0M
При t = 2с M0 M = 5 · 22 = 20 см
Vе = 2 · 20 = 40 м/с
V = 
= 44,7 см/с.
Задача Д 1.3.
m = 3 кг х = 0,4t3 + 21t y = t3 t = 6c.
Модуль равнодействующий F = ma
Q = 
v = 
= 1.2 t2 + 21
a = 24 t при t = 6 c a = 2.4 · 6 = 14.4 м/с2
f = 3 · 14.4 = 43.2 H
Задача Д 2.3.
m; r; M m,
по теореме об изменении кинетической энергии Т – Т0 = А
Т0 = 0 – кинетическая энергия покоя
Т – конечная кинетическая энергия.
Т = Yz w2/2 + 
; Yz = 
v = w · r
T = 
= w2 r2 (1/4 m + ½ m1) = v2 (1/4 m + ½ m1) = 
ar = 
;
ЗадачаД. 3.3.
M; R; w xc = 
Применяем принцип Даламбера. Приложим к системе реакции опор: 
Аx, дх, Аz,силу тяжести 
g и силу инерции 
и
Сила инерции Fu = mw2 · xc = mw2
Составим уравнение равновесия
ƩFkx = 0 -Rax – Rdx + Fu = 0
ƩFky = 0 Raz – mg = 0
ƩmA (Fk) = 0
Rdx · 2R – Fu · R + mg · xc = 0
Rdx = 
Raz = mg
Rax = Rdx – Fu = 
;
Задача Д. 4.3.
Q; M = & OA = r AB = e
PAB – мгновенный центр изменений звена АВ. Дадим звену ОА возможное перемещение δφ.
Тогда точка будет иметь перемещение δSA, а точка В – δSB. Уравнение работ возможных перемещений Mбφ – Q · δSВ = 0.
δSA = δφ · ОА
Угловая скорость звена АО wAO = 
B0 = 
= t
PABA = t + r wA0 = 
δSB = PAB · B · wAO PABB = BO / tg(90° - a) = t / tg(90° - a)
δSB = t / tg(90° - a) · 
M · δφ – Q t / tg(90° - a) · = 0
Q = 
