Задача с1-1с

 

Освободимся от связей, заменив их реакциями.

Составим уравнение равновесия

ƩF_kx = 0; ƩF_ky = 0; ƩM_R = 0

ƩF_kx = -Pcos60° + R_b cos60° + R_ax = 0                         (1)

ƩF_ky = -Pcos30° + R_b cos30° + Q – G + R_ay = 0           (2)

ƩM_b = 0  - Pcos30 · l – Q · l/2 + G· l + M – R_ay · 3l = 0         (3)

из (3) R_ay =

         R_ay направлена вниз.

из (2) R_в =

из (1) R_ax = PcosG– R_b cosG = 15 · 0.5 – 27.1 · 0.5 = -6.05 кН

         Ах направлена влево.

RA =

Проверка: ƩМ_А = -Р cos30° · 4l – Q · 3.5l + R_b · cos30° · 3l – Gl + M = -15 · 0.86 · 4 · 1 – 3 · 3.5 · 1 + 27.1 · 0.86 · 3 · 1 – 5 · 2 + 2 = 0

Ответ: R_A = 6.5 кН;      R_b = 27.1 кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача С 2.16

 

Рассмотрим равновесие тела ВС

ƩF_kx= -В_х + Q cos60° + C_x = 0                          

ƩF_ky = -B_y + Q cos30°

ƩM_b = - Q · 1.1 – M – C_x · 4.5 · sin30°

         B_y = 4.4 · 0.86 = 3.81 кН       С_х = -5,35 кН

         В_х = 4,4 · 0,5 – 5,35 = -3,15 кН

Проверка: ƩМс = -В_у · 4,5 sin30 – B_y · 4.5 cos30° + Q · 3.4 – M = 3.15 · 4.5 · 0.5 – 3.81 · 4.5 · 0.866 + 4.4 · 3.4 – 7.2 = 0

         B =  = 4.995 кН

Рассмотрим равновесие тела АС.

ƩF_kx= А_х + С_х - Р cos60° = 0                   

ƩF_ky = -А_у + Pcos30° = 0                

ƩM_b = -С_х · (7 – 3,85) – А_х · 7 + МА  = 0

А_х = Р cos60° - C_x = 3 · 4.5 – 5.35 = -3.85 кН

Направление влево.

А_у = Р cos30° = 3 · 0.866 = 2.6 кН

МА = 5,35 · 3,15 + (-3,85) · 7 = -10,15 кН

Направление против часовой стрелки.

Проверка: ƩМ_с = -Р · cos 60° · 3.15 + MA – A_x · 3.85 = -3 · 0.5 · 3.15 – 10.15 – (-3.85) · 3.85 = 0

Ответ: В = 4,95 кН;      А =

МА = 10,15 кНм.

 

 

 

 

 

Задача №с3.16

 

Стержни 2,10,5 и 3,4. Р₁ = 170 кН l₂ = 130 кН

Определение реакции опор.

ƩF_x = -A_x + P₂ – Nx = 0

ƩF_y = A_y – P₁ = 0

ƩMA = 0    -N_x · 3a · tg30° + P₂ · 2 a tg30° + P₁ · 3a = 0

A_y = P₁ = 170 кН

N_x =  = 380 H

A_x = P₂ – N_x = 130 – 380 = -250 H

Определение усилий в стержнях способом Риттера. Сечение I-I.        Стержни 2,10,5

ƩF_x = 0       -S₂ – S₁₀ cos30° - S₅ · cos30° = 0

Ʃ F_y = 0      - S₁₀ · cos60° + S₅ · cos60° - P₁ = 0

ƩME = 0     S₂ · EC + P₁ · DC = 0    S₂ = - = -293 H

-S₁₀ · 0.86 – S₅ · 0.86 = -293  x 0.5           -S₁₀ · 0.43 – S₅ 0.43 = -146

-S₁₀ · 0.5 + S₅ · 0.5 = 170       x 0.86                  S₁₀ · 0.43 + S₅ · 0.43 = 146

S₁₀ = 0        S₅ = 146/0.43 = 339 кН

Определение усилий в стержнях методом вырезания узлов. Стержни 3 и 4. Цех Д.

ƩF_x = -S₃ – S₄ cos30° = 0

ƩF_y = S₄ · cos60° - P₁ = 0       S₄ = P₁/cos60° = 170/0.5 = 340 кН – растянут стержень.

S₃ = -340 · 0.866 = -294 кН – стержень сжат

Ответ: S₂ = -293 кН      S₅ = 399 кН         S₁₀ = 0        S₄ = 340 кН         S₃ = -294 кН

 

 

 

 

Задача С4.16

 

F = 200H    H = 300 H  M = 60 Hм а = 1м

Отбросим связи, заменив их реакциями.

Напишем уравнения равновесия заданной системы сил.

ƩF_x = 0       B_x + A_x – C_x – F · cos45° = 0

ƩF_у = 0       A_y + C_y = 0 = 0

ƩF_z = 0       A_z – P + F cos45° = 0

ƩF_x = 0       -A_z · a + C_y · 0.75 a – P · 0.25 a = 0

ƩF_y = 0       -M_y + C_x · 0.75 a + F cos45° · 0.4 a + F cos45° · (0.75 – 0.3) a = 0

ƩF_z = 0       A_x · a = 0

A_x = 0

C_x =  = -147 кН

В_х = -А_х + С_х + F · cos45° = 0 – 147 + 300 · 1 = 153 кН

А_z = P – F cos45° = 300 – 200 · 1 = 100 кН

Су=  = 233 кН

Ау = -Су = -233 кН

Ответ: А_х = 0;      С_х = -147 кН       В_х = 153 кН                  А_z = 100 кН, Cу = 233 кН         Ау = -233 кН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача к 1.16

 

Х = х (t) см                   х = 3t² + 4t

y = y (t)               y = -2t        t₁ = 1c

Для определения траектории исключим из уравнения t

t = -y/2       x = 3 (-y/2)² + 4 (-y/2);  x = ¾ y² – 2y – уравнение параболы.

Масштаб 1 ед в 1 см.

При t = 1c.

Координата точки М   х = 3· 1² + 4 · 1 = 7 см у = -2 · 1 = -2 см

Скорость точки М       v_{x =} 6t + t₁     v_y = -2        v_x = ẋ                   v_y = ẏ        

t = 1c v_x = 10 см/с         v_y = -2 см/с v = = 10.2 см/с

Масштаб скорости в 1 см – 5 см/с.

Ускорение точки М а_х = ṽ_х = 6 см/с²       ау = ṽ_у = 0 а =  = 6 см/с

Касательное ускорение         а_r =  = 5.9 см/с²

Нормальное ускорение а_n =  = 0.32 cм/с²

Радиус кривизны         ρ = V²/a_n = 10.2²/0.32 = 325 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача к 2.16

 

φ = π (t³ + 4t)       t₁ = 4c         n = 0.2 м

Угловая скорость

w =  = π (3t² + 4)        t₁ = 4c         w = π (3 · 4² + 4) = 163 1/c

Угловое ускорение Е = ẇ = π (6t + 0);    t = 4c E = π · 6 · 4 = 75.36 1/c²

Линейная скорость V = w · n = 163 · 0.2 = 32.6 М/с.

Нормальное ускорение Qn = V²/R = 32.6²/0.2 = 5314 м/с²

Касательное ускорение а_r = E · n = 75.36 · 0.2 = 15 м/с²

Полное ускорение а = = 5315 м/с²

Угол поворота тела Se t₁ = 4c.       Φ = π (4³ + 4· 4) = 251.2 рад.

Число оборотов, совершенных Se t₁ = 4c.       

N =  = 40 оборотов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача к 3.16.

 

О₁А = L₁ = 0.4 м АВ = L₂ = 1.4 м   ДЕ = L₃ = 1.2 м   O₂В = L₄ = 0.6 м АД = ДВ    V_B = 4 м/с а_В = 6 м/с²

Масштаб в 1 см – 0,2 м.

Мгновенный центр скорости шатуна АВ точка Р_АВ,                АР_АВ ┴ V_A BP_AB┴ V_B

Мгновенный центр скорости шатуна ДЕ точки Р_ДЕ  Р_ДЕ Е ┴ V_B P_DE D ┴ V_D

Угловая скорость шатуна АВ w_AB =         

P_AB B = AB · tg30° = 1.4 · 0.5774 = 0.808 м    

W_AB = 4/0.808 = 4.95 1/c.

Скорость точки А        V_A = W_AB · P_AB A        

P_AB · A = 1.616 м    V_A = 4.45 · 1.616 = 8 м/с

Скорость точки D        V_D.    V_D = W_AB · P_AB · D      

P_AB S D = 1.1 м   V_D = 4.95 · 1.1 = 5.45 м/с.

Угловая скорость шатуна ДЕ        w_DE = 3.2 1/c.

Скорость точки Е        V_E = w_DE · P_DE · E = 3.2 · 1.9 = 6.08 м/с.

W_O1A = 20 1/c.

Нормальное ускорение точки А    160 м/с²

Для определения ускорения О_А воспользуемся векторной формулой , или  =  +   +          (1)

 = 166 м/с²       · AB = 4.95² · 1.4 = 34.3 м/с²

Спроектируем уравнение (1) на оси х и у

На ось х     Q =  cos30°

На ось у     а_В =  cos60°

 = -377 м/с²

Ускорение Q_A =  = 410 м/с².

 

Задача К.4.16.

 

Дано:         w = 3t² (рад/c)

                   Sотн = 0,6 t²

                   t₁ = 1c

Найти: V_abc

Решение.

Относительное движение – поступательное движение по диаметру.  Переносное движение – вращательное вокруг оси ОZ по радиусу О₁М. 

Абсолютная скорость V_abc =

Относительная скорость Vот = S` = (0.6t²) = 1.2t.   

При t = t₁ = 1 сек          Vотн = 1,2 м/c

Переносная скорость Vпер = w · O₁M

При t = t₁ = 1сек w = w (t₁) = 3 рад/с

О₁М = S (t) = 0.6 · 1 = 0.6 м

Vпер = 3 · 0,6 = 1,8 м/с

Vпер ┴ плоскости рисунка и направлена к ним

Тогда Vотн ┴ Vпер

V_абс =  =

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

Задача Д 1.16.

 

m =  8 кг    х = 5t                   y = t³ t = 4c.

По Второму закону Ньютона F = ma     a =

ẋ = 5           ẍ = 0           ẏ = 3t²         = 6t                   a = 6t

при t = 4c  a = 6 · 4 = 24 м/с

F = 8 · 24 = 192 H

 

Задача Д 2.16.

 

Потенциальная энергия лытника на горне Еn = mgh = mgl sin a

Энергия, затраченная лытником на горизонтальном участке Е = Fтр · S

E = mg · f · S       S – путь на горизонтальном участке.

По закону сохранения энергий mgl sin a = mg f · S

S =

 

Задача Д. 3.16.

 

Дано m, 2l, w = const, a

Найти Fупр.

Решение.

Для решения задачи применим принцип Даламбера. Освободимся от связей и покажем реакции связей: _ox, _oe,  _oz, _упр

На стержень действует активная сила – сила тяжести m, приложенная в точке О и силы инерции.

Т = ½ m₁ v² + ½ mv² = ½ v² (m₁ + m)

Вычислим сумму элементарных работ всех внешних сил. На систему действуют следующие внешние силы тяжести 2m,  и момент – М. Покажем элементарное перемещение системы

dφ – элементарный угол поворота шкива

ds – элементарное перемещение груза.

Ʃd = dA(m) + 2dA (m) + dA (M)

dA(m) = 0                   dA (M) = Md_φ

w = v/r;      dφ = 1/r ds

dA (M) = M/r · ds

                                -sin a

dA(m) = m · ds cos (90° + a) = mds

Ʃd = M/r · ds – mgds = (M/r – mg) ds

dT = 2/2 vdv (m₁ + m) = v · dv (m₁ + m)

Подставляем в уравнение vd · v (m₁ + m) = (M/r – mg) ds

Делим на dt

v

 a                                        v

a =

Ответ а =

Т. к. w = const, то каждая точка стержня имеет только нормальное ускорение:

 = w² r_K

r_K– расстояние от точки К до оси вращения.

Равнодействующая сил инерции верхней части стержня приложена в точке Е:

ОЕ = 2/3 l

^ф = -1/2 m

R^ф = ½ mw² · l/2 sin a

Равнодействующая сила инерции нижней части приложена в точке Е₁:

ОЕ₁ = 2/3 l

^ф = -1/2 m

R₁^ф = R^ф

Запишем уравнение динамического равновесия Ʃm₀ () = 0;

Fупр= l cos a – R^ф · 2/3 cos a – R₁^ф · 2/3 l cos a = 0

             OD                        OE₂                    OE₃

Fупр = 2R^ф · 2/3 = 4/3 · ¼ mw² l sin a

Fупр = 1/3 mw² l sin a

Ответ: Fупр = 1/3 mw² l sin a

 

Задача Д. 4.16.

 

Сообщим системе  возможное перемещение, повернуть стержень ОС на угол δφ_ос. Тогда точка А получит возможное перемещение δS_A; точка В получит перемещение бS_B. Уравнение возможных работ – Q · δS_A + Mбφ_ос = 0.

Стержень АВ совершает возможные плоско-параллельные перемещения

δSc = l · δφ_ос        δφ_АВ = δφ ·l

δφ_oc · l = δSc        δφ_AB =

δS_A = δφ_AB· l =  =  δφ_oc · l

-Q · δφ_oc · l+ Mδφ_oc = 0                   Q = M/l