Математические методы в экономике

Задание 1. Предприятие состоит из двух основных цехов и одного вспомогательного, каждый из которых выпускает один вид продукции. Известны расходные коэффициенты  (прямые затраты) единиц продукции –го цеха, используемые как промежуточный продукт для выпуска единицы продукции –го цеха, а также количество единиц  продукции –го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт).

 

Определить:

1.      коэффициенты полных затрат;

2.      валовой выпуск (план) для каждого цеха;

3.      производственную программу цехов;

4.      объем валового выпуска, если конечное потребление продукции каждого цеха увеличится на 50, 25, 40 единиц соответственно.

 

 

Решение

x – Ax = y - балансовое уравнение

x(Е – A) = y

Е – единичная матрица

Е – A = S

x*S = y   S ® S^-1

x = S^-1 * y  

1) Найдем матрицу E - A = S

(E – A) = 

2) Находим обратную матрицу:

а) S^T – транспонированная матрица

б) По транспонированной матрице S^T находим присоединенную матрицу S_*:

S_* =   

в)  Находим определитель матрицы S:

D =  = 0,85*0,85*0,88 + (-0,11)*(-0,36)*(-0,21) + 0 – (-0,15)*0,85*(-0,11) – 0,85*(-0,28)*(-0,21) = 0,563

г) находим обратную матрицу S^-1

S^-1 = 1/D* S_* = 1/0,563*  =

=

2) валовой выпуск для каждого цеха определим из равенства:

X = (E – A)^-1Y

Получаем:

Х = 

Следовательно, х₁ = 142, х₂ = 295 и х₃ = 231.

3) производственную программу цехов определим из соотношения:

x_ij = a_ijx_j (j = 1, 2, 3; i = 1, 2, 3).

В результате получим следующую таблицу (с округлением):

Цеха	Внутрипроизводственное потребление xij			Итого åxij	Конечный продукт yi	Валовой выпуск xi
	I	II	III
I	21	0	26	46	95	142
II	51	44	65	160	135	295
III	21	62	28	111	120	231

 

4.      объем валового выпуска, если конечное потребление продукции каждого цеха увеличится на 50, 25, 40 единиц соответственно.

 

 Конечный продукт составит:

Y^* =+ =

валовой выпуск составит:

Х^* = 

Следовательно, х^*₁ = 210, х^*₂ = 379 х^*₃ = 308.

 

Задание 2.

При цене 100 руб. покупают 30 единиц некоторого товара, а при цене 140 руб. – только 20 единиц. Поставщик продает 8 единиц товара при цене 150 руб. и 15 единиц при цене 255 руб. Предполагая линейным закон спроса и закон предложения, найти точку рыночного равновесия. Построить графики.

Решение

Составим функцию спроса, которую будем искать в виде: .

х – количество покупаемого товара (единиц);

р – цена товара.

По условию задачи составим систему:

Закон спроса:  руб.

Найдем функцию предложения в виде: . По условию задачи составим систему:

Закон предложения:  руб.

Найдем точку рыночного равновесия, т.е. точку, в которой спрос равен предложению. Для этого приравняем правую часть функции спроса к правой части функции предложения. Разрешим полученное уравнение:

Точка рыночного равновесия – 10 единиц.

Покажем это на графике:

Ответ: Спрос  руб., предложение  руб., единиц - точка рыночного равновесия.

 

Задание 3

Цена на некоторый товар составляет 250 руб. Издержки производства этого товара равны , где x – число единиц произведенного товара. Найти максимальное значение прибыли.

Решение

Составим функцию дохода:

R(x) – доход, руб. 

р = 250 руб. -  цена

х - количество товара, ед.

 

Функция прибыли:

 

P(x) - прибыль

C(x) - издержки

 

Чтобы найти, при каком объеме выпуска продукции прибыль максимальная, надо исследовать функцию прибыли на экстремумы, в точке максимума прибыль будет максимальной.

Находим производную функции прибыли:

Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

 

Производная при переходе через т. Экстремума меняет свой знак с «+» на «-», следовательно,  - максимум.

Тогда максимальная прибыль равна значению функции прибыли в точке максимума:

руб.

Ответ:  руб.

 

Задание 4

Данные о спросе на некоторый товар на рынке в зависимости от его цены приведены в таблице:

Цена (тыс. руб)	0,7	0,9	1,3	1,6	2,3
Предложение (тыс. шт)	7,5	7,8	9,0	9,8	13,1

 

Сделать предположение о количестве предлагаемого товара при дальнейшем увеличении его цены еще на 100 рублей, считая закон предложения:

А) линейным

В) квадратичным

Решение

а) Найдем линейную зависимость вида y = A + B*x

Найдем неизвестные параметры А и В, используя МНК (метод наименьших квадратов).

Для этого решим систему уравнений относительно А и В:

По исходным данным проведем все необходимые расчеты и оформим их в таблице.

 

По данным таблицы составляем систему уравнений:

Линейная зависимость имеет вид y = 4,6663 + 3,5101x 

В) квадратичным

Система нормальных уравнений в общем виде:

Цена (тыс. руб) x	0,7	0,9	1,3	1,6	2,3	Sx = 6,8
Спрос (тыс. шт) y	7,5	7,8	9	9,8	13,1	Sy = 47,2
ху	5,25	7,02	11,7	15,68	30,13	Sxy = 69,78
x2	0,49	0,81	1,69	2,56	5,29	Sx2 = 10,84
x3	0,343	0,729	2,197	4,096	12,167	Sx3 = 19,532
x4	0,2401	0,6561	2,8561	6,5536	27,984	Sx4 = 38,29
x2у	3,675	6,318	15,21	25,088	69,299	Sx2y = 119,59

 

Квадратичная зависимость имеет вид:

y = 6,9425 - 0,0499x + 1,1833x²

Сделаем предположение о количестве предлагаемого товара при дальнейшем увеличении его цены еще на 100 рублей, считая закон предложения:

х^* = 2,3 + 0,1 = 2,4

А) линейным

y^* = 4,6663 + 3,5101x^* = 4,6663 + 3,5101*2,4= 13,091

В) квадратичным

y^* = 6,9425 - 0,0499x^* + 1,1833 (x^*)² = 6,9425 - 0,0499*2,4 + 1,1833*(2,4)² = 13,639

 

Ответ: А) при линейном законе предложения составит: 13,091 тыс. шт

В) при квадратичном: 13,639 тыс. шт

 

Задание 5

Функция предельной прибыли имеет вид . Прибыль предприятия составляет 35,8 тыс. руб., если продано 1200 изделий. Найти функцию прибыли.

Решение

Найдем функцию прибыли Р(х):

Проинтегрируем обе части равенства:

Мы получили функцию прибыли, в которой неизвестна постоянная величина С. Для ее нахождения используем начальные условия.

Подставляем полученное значение в уравнение прибыли:

 - функция  прибыли

Ответ:  (тыс.руб.)

 

Задание 6

Эластичность спроса  имеет вид . При количестве предлагаемого товара  условные единицы цена составляет  денежных единиц. Найти:

1.                функцию спроса ;

2.                цену товара, если предлагаемый объем увеличится и составит  условных единиц.

 

Решение

Получаем дифференциальное уравнение

.

решаем дифференциальное уравнение:

Интегрируем:

+ ln С

Подставляя известные значения цены и количества проданного товара, находим значение константы и получаем окончательный вид функции спроса:

2. найдем цену товара, если предлагаемый объем увеличится и составит  условных единиц.

= 27,5 д.е.

Ответ: Функция спроса , при х = 80 у.е., p = 27,5 д.е.