Статистика, вариант 22

Задача 1

 

Вычислить основные числовые характеристики вариационного ряда, по данным, приведенным в табл.1.

Таблица 1

 

Решение

 

1.Вычисления промежуточных величин производим в табличной форме (табл.2).

Таблица 2

 

2. Определяем среднюю арифметическую производительности труда

 

 = 52,4

 

3. Вычисляем дисперсию той же величины

 

σ² =  = 2760,6 – 2745,76 = 14,84

 

4. Вычисляем среднее квадратическое отклонение

 

σ =  = 3,85

 

5. Находим  коэффициент вариации

 

v =

 

6. Результаты вычислений иллюстрируют графически (рис.1)

                                       σ                          σ

                                                

18       Полигон                       3

16                                                               

14                                                                4

12                                 2                             5

10

8                            1

0                                                                  = 52,4

40                                    50                                      60                   70     х

Задача 2

Вычислить групповые и общие средние по следующим данным

Таблица 3

 

Решение

1.Вычисления промежуточных величин производим в табличной форме (табл. 4).

Таблица 4

 

2. Используя данные итоговой строки, вычисляем средние по группам:

по первой группе 78,649 руб.,

 по второй группе         83,898 руб.,

по третьей группе          92,542 руб.;

по всем группам 85,935 руб.

3. Вычисляем среднюю заработную плату по предприятию в целом по формуле средних групповых:

85,935руб.

 

 

Задача 3.

Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных (табл. 5).

Таблица 5

Решение

1. Вычисления промежуточных величин, входящих в нормальные уравнения метода наименьших квадратов, производим в форме табл. 6:

na₀ + a₁Σx_i = Σy_i

a₀Σx_i + a₁Σx²_i = Σx_iy_i.

 

Таблица 6

 

2. Подставляя итоговые числа в нормальные уравнения метода наименьших квадратов

 

8a₀ + 220a₁ = 62  (:8)

220a₀ + 7100a₁ = 1910 (:220)

Решаем эту систему методом Гаусса.

-         a₀ + 27,5a₁ = 7,75

a₀ + 32,27 = 8,68

-4,77а₁ = - 0,93,

Откуда получаем:

 

a₁ = -0,93/-4,77 = -0,195,

 

a₀ =  = 2,3875

 

3. Записываем корреляционное уравнение

 

2,3875+ 0,195x

4. Проверяем достоверность вычисления параметров уравнения:

7,75 = 2,3875 + 0,195 · 27,5           7,75 = 7,75

5. Вычисляем линейный коэффициент корреляции уравнения:

r = 0,899

 

6. Определяем коэффициент детерминации

0,899² = 0,808

Следовательно, разработанная модель объясняет 80,8% вариации результативного признака , и только 19,2% вариации определяется факторами, неучтенными в регрессионном уравнении.

7. Результаты вычислений графически показаны на рис.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

12                                                                       8

11

10                                                              7

9                                                      6

8                          3                 5

7

6                 2

5                                    4

4       1

3

2

1                                    х

 

0       10              20              30              40               50                        x

Рис.2. Корреляционная зависимость

 

 

Задача 4.

Рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции для следующих условий (табл. 7)

Таблица 7

 

Решение

1. Дополняем исходную таблицу строкой и столбцом «Итого» (табл.8).

Таблица 8

 

2.Вычисляем коэффициент ассоциации:

 

Kacc = .

3.Определяем коэффициент контингенции:

Kконт = 0,507.

 

Итак, между рассматриваемыми признаками имеется определенная, (какая именно) я зависимость, так как получены такие:  > 0,5 , а  < 0,3.

 

Задача 5.

Определить тесноту связи между приведенными показателями с помощью коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова (табл. 9).

Таблица 9

 

Решение

1.     Вычисления вычисляем табличной форме (табл.10),

 

 

Таблица 10

 

2.Определяем коэффициент взаимной сопряженности

ΣZ_i – 1 = 1,004 – 1 = 0,004

2.     Вычисляем коэффициент Пирсона:

 

C =  = 0,062

 

4. Вычисляем коэффициент Чупрова

 

Кч =

 

Следовательно, между успеваемостью и занятиями спортом существует зависимость, но не очень сильная, так как и коэффициент Пирсона  > 0,1, так и коэффициент Чупрова < 0,1 практически равны минимальным предельным значениям.  

 

Задача 6.

Рассчитать цепные, базисные и средние абсолютные приросты, темп роста и темп прироста по данным табл. 11.

Таблица 11

 

 

 

Решение

 

1. Производим вычисления в форме табл.12

Таблица 12

 

2. Проверяем достоверность вычислений:

абсолютного прироста:   2,8 – 0,9 – 1,9 – 1,5 + 0,7 + 1,2 = 0,4.

темпов роста:    1,1944 · 0,9477 · 0,8834 · 0,8958 · 1,0543 · 1,0882 = 1,0277 = 102,77%.

3.Вычисляем средний абсолютный прирост:

 

 = 0,0667.

 

Задача 7.

Выровнять ряд динамики методом наименьших квадратов в форме уравнения прямой линии  по данным табл.13.

Таблица 13

Решение

1. Коэффициенты уравнения регрессии находим из соотношений:

na₀ = Σy_i

a₁Σt²_i = Σt_iy_i

2. Решение выполняем в форме табл.14

Таблица 14

 

3. Используя значения строки «Итого», получаем:

а₀ = ,                 

a₁ =  = 0,325,

поэтому уравнение тренда имеет вид:

16,84 + 0,325 · t_н.

4. Осуществляем переход к исходной старой системе координат

16,84 + 0,325t_н = 16,84 + 0,325(t_c – 6),

или окончательно:

14,89 + 0,325 t_c.

Полученные два уравнения равноценны. Например, если   7, а 1, то:

14,89 + 0,325t_c =14,89 + 0,325 · 7 = 17,165  объем;

16,84 + 0,325 t_н = 16,84 + 0,325 · 1 = 17,165  объем.

6. Результаты вычислений графически показаны на рис.3.

 

 

 

 

 

 

у                                    у

                                     

                                               t_н

19    

18                                  18                       

17                                  17               t_с

16                                  16

15                                  15

         -3      -2      -1      0       1       2       3                                    t_н

0       1       2       3       4       5       6       7                                    t_c

	Рис.3. Тренд динамического ряда

 

 

 

 

Задача 8.

Определить сводный индекс товарооборота, индекс цен, индекс физического объема реализации и величину перерасхода покупателей от роста цен по данным табл. 15.

Таблица 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

1.     Решение выполняем в форме табл. 16

 

Таблица 16

 

2. Вычисляем агрегатные индексы:

·        общий индекс товарооборота         I_pq =  = 1,944,

 

то есть объем товарооборота в фактических ценах возрос на     94,4%;

·        индекс цен   Ip =  = 1,458

 

то есть товарооборот за счет повышения цен возрос на      45,8%;

·        индекс физического объема реализации

·        I_q =  = 1,333

 

то есть товарооборот за счет расширения объема возрос на      33,3 %.

4. Проверяем достоверность вычисления индексов:

I_p · Iq = 1,458 · 1,333 = 1,944.

5. Перерасхода покупателей за счет роста цен составил

Σp₁q₁ – Σp₀q₁ = 5250000 – 3600000 = 1650000 у. е.