Математика. Вариант 5

Вариант №5

Вычислить интегралы в пределах от А до В от функции :

№1. , ;

        

 

 

 

№2. А=2, В=3, ;

 

 

 

 =

 

 

Разложим рациональное выражение на сумму простейших дробей 

 

 

 

 

 

Вычислим каждый интеграл суммы 

 

 

7ln(|x|) = −7ln(2)+7ln(3)

 

ln(|1+x|)ln(4)−ln(3)

 

 = 9ln(|−1+x|) = 9ln(2)

 

ln(4)+2ln(2)+6ln(3)

 

 

 

№3. А=1, В=2, ln;

 

Решаем неопределенный интеграл: 

Применим способ интегрирования по частям 

, где 


и 

Интеграл суммы есть сумма интегралов.

 

 

Проинтегрировали константу.

Вынесли константу из-под знака интеграла.

 

 

Делаем замену переменных: u= x+1

Проинтегрировали степенную функцию.

 

 

Сделали обратную замену.

 

 

        

Перейдем к определенному интегралу:

 

 

№4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

; .

 

 

 

Решим уравнение:

 

3x=

0=

0=

D= 25

X1=1/2; X2= -2

 

На данном отрезке (-2;1/2) 2-2≥ 3x. Следовательно

 

 

S= =

 

Решите следующие ДУ:

№5.  

Решаем дифференциальное уравнение:

Произведем нормировку уравнения. Разделим все уравнение на коэффициент при y'. Получим:
-

 

Вычисляем вспомогательную функцию: 

Вычисляем: 

по данному типу диффуров, записываем выражение:

 

Интегрируем левую и правую часть. Получим:

 

 

 

 

Выразим искомую функцию y(x):

Записываем финальный ответ: 

x

 

 

№6.

Составим и решим характеристическое уравнение:

                   λ³ + (-14) λ² + 64λ + (-69) = 0

Kоэффициенты: а = -14, b = 64, c = -69

Q =  = 0.4444

R =  = 13.2037

x₁ = 1,54

x₂ = 6.23 + (-2.45) i

x₃ = 6.23 – (-2.45)i

Следовательно, общее решение уравнения выглядит следующим образом:

у = С₁е^1,54 + е^6,23 (С₂ cos (-2.45)x + C₃ sin (-2.45)x)

 

№7.

 

Решаем однородное дифференциальное уравнение: 

Решение ищем в виде:

Подставляем в исходное уравнение:

Дифференцируем экспоненту, а затем сокращаем на exp(x·z). Получим характерестическое уравнение:

Решаем характерестическое уравнение. Получим два корня:

Корни представляют собой различные действительные числа. Тогда фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения представляет собой две функции:

где С1 и С2 произвольные константы.
Общее решение однородного дифференциального уравнения представляет собой сумму фундаментальных решений:

Раскладываем и группируем (если это возможно) слагаемые в правой части таким образом, чтобы удобнее было решать:

 

Решаем дифференциальное уравнение:

Частное решение данного уравнения:

Записываем финальный ответ: y = С1

Найти сумму ряда в пределах от М до бесконечности

 

№8. М=1. , x=0.060

= 0,0168859

 

Исследовать ряд на сходимость

№9.

 

   

 

 

. Следовательно, ряд может как сходится, так и расходиться.

 

 

10. В 19 ящиков случайным образом поместили 9 шаров. Какова вероятность того, что в некотором фиксированном ящике ровно 7 шаров?

 

P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события. 

 

 = 92378

 

№11. При пересыпании из одной урны в другую один шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся шаров вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый, если всего шаров 72, 56 из которых-черные?

 

P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события. 

N =72; M = 72-56=16  , следовательно P = = 0,22.