Матанализ

Вариант 0

 

1.  Вычислить неопределённые интегралы и сделать проверку

а)  =  ;        

Решаем интеграл: 

Делаем замену переменных: 


+18 du = + =

 

= +=  сделаем обратную замену +const

б)   ;

в)   = - + const;                

 г)  = ;

 

 

2.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

,     и       

 

 

 

Решим уравнение:

 

x-1=

0=

0=

D= 9

X1=4;X2= 1

 

На данном отрезке (1;4) f(x)≥ g(x). Следовательно

 

 

S= =

 

3. Найти общее решение ДУ, сделать проверку и построить графики двух различных частных решений этого уравнения

 

Произведем нормировку уравнения. Разделим все уравнение на коэффициент при y'. Получим:

Вычисляем вспомогательную функцию: 

Вычисляем: 

Согласно теории по данному типу диффуров, записываем выражение:

Интегрируем левую и правую часть. Получим:

Выразим искомую функцию y(x):

Записываем финальный ответ: 

 

Выполним проверку. 
Подставим полученную функцию y(x) и её производную y'(x) в левую часть исходного диффура.
Для этого вычислим необходимую для проверки производную y'(x): 

Подставляем y(x) и y'(x) в левую часть диффура:

Упрощаем:

После подстановки y(x), y'(x) и упрощений левая часть диффура превратилась в:

А теперь смотрим, что записано в правой части исходного диффура:

Выражения для левой и правой части диффура должны быть математически идентичны (с точностью до формы записи).

 

Рис. Y(x)=1/x²

 

Рис. Y (x)= 2/x²

 

 

4. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее указанному начальному условию   ,  

 

Решаем дифференциальное уравнение:

Произведем нормировку уравнения. Разделим все уравнение на коэффициент при y'. Получим:

Вычисляем вспомогательную фунцию: 

Вычисляем: 

Согласно теории по данному типу диффуров, записываем выражение:

Интегрируем левую и правую часть. Получим:

Выразим искомую функцию y(x):

Записываем финальный ответ: 

 

ПРИ    2= -

                  2= 0+const

             Const = 2, Следовательно y(x)= -cos(x)+2

 

5. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее указанным начальным условиям

 

 

 

Решаем однородное дифференциальное уравнение: 

Решение ищем в виде:

Подставляем в исходное уравнение:

Дифференцируем экспоненту, а затем сокращаем на exp(x·z). Получим характерестическое уравнение:

Решаем характерестическое уравнение. Получим два корня:

Корни представляют собой различные действительные числа. Тогда фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения представляет собой две функции:

где С1 и С2 произвольные константы.
Общее решение однородного дифференциального уравнения представляет собой сумму фундаментальных решений:

Раскладываем и группируем (если это возможно) слагаемые в правой части таким образом, чтобы удобнее было решать

Решаем дифференциальное уравнение:

Частное решение данного уравнения:

Анализируем правую часть неоднородного уравнения:
Максимальная степень полиномов 2.
Решение ищем в виде функции yHP (HP - неоднородное решение):

Основная задача теперь звучит так: надо найти неизвестные коэффициенты c2,c1,c0.

Решаем систему, получили следующие значения:

Вспоминаем как мы определили y_HP и подставляем туда значения c2,c1,c0.

 

6. Исследовать числовой ряд на сходимость

 

   

 

 

<1. Следовательно, ряд сходится.

 

7. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда; исследовать поведение ряда в концевых точках

R== = 2.

 

Интервал сходимости: (x₀-R; x₀ +R), где x₀=4, R=2, следовательно (2;6)