Математика
Задание 1.6.
2A-3B
Умножим матрицу на число: D = 2A
Умножим матрицу на число: E = 3B
Вычитание матриц: N = D - E
Ответ: 2*A-3*B =
A*B
Умножим матрицы: D = A x B
Ответ: A*B =
A*C
Умножим матрицы: D = A x C
Ответ: A*C =
Задание 2.6.
Метод крамера
Запишем систему в виде:
A = |
|
BT = (-2,1,1)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 1 • ((-3) • (-1)-1 • 1)-4 • (1 • (-1)-1 • (-1))+2 • (1 • 1-(-3) • (-1)) = -2
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
-2 |
1 |
-1 |
1 |
-3 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = (-2) • ((-3) • (-1)-1 • 1)-1 • (1 • (-1)-1 • (-1))+1 • (1 • 1-(-3) • (-1)) = -6
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 |
-2 |
-1 |
4 |
1 |
1 |
2 |
1 |
-1 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • (1 • (-1)-1 • 1)-4 • ((-2) • (-1)-1 • (-1))+2 • ((-2) • 1-1 • (-1)) = -16
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 |
1 |
-2 |
4 |
-3 |
1 |
2 |
1 |
1 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • ((-3) • 1-1 • 1)-4 • (1 • 1-1 • (-2))+2 • (1 • 1-(-3) • (-2)) = -26
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Проверка.
1•3+1•8-1•13 = -2
4•3-3•8+1•13 = 1
2•3+1•8-1•13 = 1
Метод Гаусса
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
|
|
Умножим 1-ую строку на (4). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
|
Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
|
|
Умножим 1-ую строку на (5). Умножим 2-ую строку на (7). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
|
|
Теперь исходную систему можно записать так:
x3 = -52/(-4)
x2 = [-1 - (3x3)]/(-5)
x1 = [1 - (x2 - x3)]/2
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
Задание 3.6.
a)
b)
c)
d)
Уравнение каждой плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0. Так что наша задача по заданным координатам 3-ех точек плоскости найти коэффициенты A, B, C и D. Эти коэффициенты находятся по формулам:
, где x, y, z - координаты наших точек, а 1-2-3 это номера точек A-B-C.
Соответственно находим эти коэффициенты и подставляем их в формулу.
Рассчитаем коэффициенты A, B, C и D по формулам, описанным выше. Найдем определители матриц. Коэффициенты:
A = (1) × (0) × (-1) + (-1) × (3) × (1) + (1) × (1) × (1) - (1) × (0) × (1) - (-1) × (1) × (-1) - (1) × (3) × (1)
B = (1) × (1) × (-1) + (1) × (3) × (2) + (1) × (-2) × (1) - (1) × (1) × (2) - (1) × (-2) × (-1) - (1) × (3) × (1)
C = (1) × (0) × (1) + (-1) × (1) × (2) + (1) × (-2) × (1) - (1) × (0) × (2) - (-1) × (-2) × (1) - (1) × (1) × (1)
- D = (1) × (0) × (-1) + (-1) × (3) × (2) + (1) × (-2) × (1) - (1) × (0) × (2) - (-1) × (-2) × (-1) - (1) × (3) × (1)
A = -6
B = -4
C = -7
- D = -9
Подставим коэффициенты.
Уравнение плоскости: -6 x - 4 y - 7 z + 9 = 0
Задание 4.6.
Найти предел:
Решение.
Найти предел:
Решение.
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x - 4). Найдем корни первого многочлена:
x2 -4 x + 0 = 0
D = (-4)2 - 4 • 1 • 0 = 16
Найдем корни второго многочлена:
x2 -3 x - 4 = 0
D = (-3)2 - 4 • 1 • (-4) = 25
Получаем: