Сопромат 0063
Задача №1
Исходные данные: схема е- 3.
Уголок а – 0 125 х 125 х 12
Швеллер д – 6 – 18а
Из ГОСТ 8509-72 для равнобокового уголка.
в = 125 · 10-3 м d = 12 · 10-33 м АL = 28.5 · 10-4 м2
Ух = 423 · 10-8 м4 Iхе = 670 · 10-8 м4 Iуо = 174 · 10-8 м4 Z0 = 3.53 · 10-2
Из ГОСТ 8240- 72 для швеллера №18а
h = 180 · 10-3 м в = 70 · 10-3 м в = 5,1 · 10-3 м
Ас = 20,7 · 10-4 м2 Ух = 1090 · 10-8 м4 Уд = 86 · 10-8 м4 Z = 1.94 · 10-2 м
1. Схеме масштаб 1:2.
2. Общая площадь сечения Асеч = Ауг + Аше = 28,5 · 10-4 + 20,7 · 10-4 = 49,2 · 10-4 м2.
3. Определение центра тяжести сечения относительно осей Хшв и Ушв
Ус = = 31.7 · 10-3 м = 31,7 мм
Хс = = 26 · 10-3 м = 26 мм
4. Определение моментов инерции относительно осей Хс и Ус.
Ixc = Ixceг + Ауг · α2уг + Ix шв + Ашв · α2шв = 670 · 10-8 + 28,9 · 10-4 (23 · 10-3) + 1090 · 10-8 + 20,7 · 10-4 (31,7 · 10-3)2 = 2113 · 10-8 м4
Iдс = Ieс уг + Ауг · в2уг + Iус шв + Ашв · αш вм = 248 · 10-8 + 28,9 · 10-4 (23 · 10-3) (26 · 10-3) + 0 + 20,0 · 10-4 (31,7 · 10-3) (55 · 10-3) = 775 · 10-8 м4,
где Ixд уг = 10-8 = 248 · 10-8 м4
5. Положение главных центральных осей
= -2.74
м4
м4 Imin = 10006 · м4
Главные радиусы инерции
imax = = 7.34 · 10-2
imin = = 4.52 · 10-2 м
проверка:
Imax + Imin = Ixc + Iyc
2655 · 10-8 + 1006 · 10-8 = 2113 · 10-8 + 1549 · 10-8
3661 · 10-8 = 3662 · 10-8 (м4)
Imax > Ixc > Iyc > 0
2655 · 10-8 > 2113 · 10-8 > 1006 · 10-8 > 0
Проверки выполняются.
Задача №2
063 063
абв где
схема е – з F = 2см2 – а – 0 а = 0,1м в = 0,16м с = 0,13 м Р = 26кН t = 20кН/м
Участок 1 0≤ z1 ≤ c = 0.13м N1 = -P = -26кН
σ1 = N1/F = = -130Мпа
участок 2 сечение 0≤ z2 ≤ c = 0.16м N2 = Р-P = 0 σ2 = 0
участок 3 сечение 0≤ z3 ≤ c = 0.1м N3 = -Р+P –tz3
z3 = 0 N3 = 0 z3 = 0,1м N3 = -20· 103 · 0.1 = -2 · 103
σ = = -5 · Мпа
перемещение сечения I-I
∆lI-I = = 15 · 10-6 м
Задача №3
063 063
Схема 3. А1 = 11 · 10-4 м2 А2 = 6 · 10-4 м2 а = 1,6 м в = 1,0 м с = 1,3 м l1 = 1м l2 = 2.2 м σТ = 240 Мпа Е = 2 · 105 Мпа
[σ] = σт/к к = 1,5
Уравнения равновесия статики
1) ΣZ = 0 He = 0
2) ΣY = 0 N1 + N2 – F + RE = 0 ZME = 0
3) N1 · 3.9 + N2 · 2.3 – F · 1.3 = 0
Система статически неопределима. Ставим дополнительное уравнение совместности деформаций.
∆l2 = · 2.6 = 0.6 +
N1
N2
N2
N2 = N1 N2 = 0.16 N1
Из уравнения 3 N1 · 1.9 + 0.16 · 2.3 N1 – F · 1.3 = 0
4.27 N1 – F · 1.3 = 0 N1 = 0.3 F
N2 = 0.16 N1 = 0.16 · 0.3 F = 0.048 F
Определение величины F, при которых напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести
σ1 = N1/A1 = = 0,027 · 104 F
σ2 = N2/A2 = = 0,008 · 104 F
В тяге 1 напряжение достигнет предела текучести раньше и
0,027 · 104 · А = 24 · 104кПа F = = 890 кН
Определение предельного значения Fпр при исчерпании несущей способности тяг
N1 пр = А1 · σт = 11 · 10-4 · 24 · 104 = 264 кН
N2 пр = А2 σт = 6 · 10-4 · 24 · 10-4 = 144 кН
Из уравнения 3
N1 пр · 3,9 + N2 gh · 2.3 – Fпр · 1,3 = 0
Fпр = = 1047 кН
Определение грузоподъемности по методу допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок.
По методу допускаемых напряжений
[σ] = σт/к = = 16 · 104 кПа 0,027 · 104 [F] = 16 · 104 кПа
[F] = = 592 кН
По методу разрушающих нагрузок
[F] = Fпр/к = 1047/1,5 = 698кН – по методу разрушающих нагрузок грузоподъёмность выше.
Задача №4
Схема 3 а = 0,1м с = 0,16м l = 0.13 м М1 = 200Нм М2 = 2600нМ М3 = 2300нМ М4 = 2000нМ [τ] = 45Мпа п/в = 1,5 а = 8 · 104Мпа [Q] = 1.8с/м.
Используя метод сечения, определим Мкр на каждом участке.
МкрI = M4 = 2000Нм
МкрII = M4 – M3 = 2000 – 2300 = -300Нм
МкрIII = M4 – M3 + M2 = 2000 – 2300 + 2600 = 2300Нм
МкрIV = M4 – M3 + M2 – M1 = 2000 – 2300 + 2600 – 2000 = 300Нм
Определение размеров поперечного сечения валика из условий прочности: d ≥ – для круглого сечения.
d ≥ = 6.4 · 10-2м = 64мм
из условия жесткости: d ≥
d ≥ = 6.3 · 10-2м = 159мм
Принимаем d = 64мм
Распределение касательных напряжений по сечению велико τ = S = 0 τ = 0 S = Yρ = ρ = 32мм
Уρ = = 165 · 10-8м4
τmax = = 45 Мпа
Построение эпюры угла закручивания
φЕ = 0 φс = = 0.023 · 10-2 раб
φD = φc + = 0.25 · 10-2 раб
φВ = φD + = 0.213 · 10-2 раб
φA = φВ + = 0.364 · 10-2 раб
Задача №5
Схема I – 6 Cхема II – 3
c/a = 1.6 p/qa = 2.0 m/qa2 = 0.6 a = 1.5м q = 16кН/м с = 1,6 · 1,5 = 2,4м Р = 1,6 · 1,5 · 2 = 48кН m = 16 · 1.52 · 0.6 = 21.6кНм
Участок 1 0 ≤ х1< 1,5м Q1 = -qx1 x1 = 0 Q1 = 0 x1 = 1.5 Q1 = -16 · 1.5 = -24кН М1 = -m – q x12/2 x1 = 0 M1 = -m = -21.6кНм х1 = 1,5 М1 = -21,6 – 16 1,52/2 = -39,6кНм
Участок 2 1,5 ≤ х2 ≤ 3,9м
Q2 = -qa + P = -16 · 1.5 + 48 = 24кН
М2 = -m – qa (a/2 + c) + P · 2.4 = -21.6 – 16 · 1.5 (1.5/2 + 2.4) + 48 · 2.4 = 18кНм
Подбор круглого сечения. момент сопротивления wx = Mмелк/[δ]
Wx = = 0.141 · 10-3 м3 wx =
d = = 1.1 · 10-1м = 110 мм
Схема II-3
Определение реакций опор ΣМА = 0
-q · 1.5 · 1.5/2 + m + g · 7.8 · 7.8/2 – RВ · 7,8 + Р · 10,2 = 0
Rв = = 126кН.
ΣМВ = 0
-q · 9.3 · 9.3/2 + RA · 7.8 + m + Pв · 2,4 = 0
RA = = 171кН
Проверки ΣУ = 0
RA – q · 9.3 + Rв – З = 171 – 16 · 9,3 + 126 – 48 = 0
Построение эпюр М и Q
Участок 1 0 ≤ х1 ≤ 1,5м Q1 = -qx1 x1 = 0 Q1 = 0 x1 = 1.5 Q = -16 · 1.5 = -24кН М1 = -q x2/2 x1 = 0 M1 = -16 1.52/2 = -18кНм
Участок 2 0 ≤ х2 ≤ 4,5 Q2 = -qa + RA – q (x2 – 1.5) x2 = 0 Q2 = -16 · 1.5 + 71 = 47кН М2 = -16 · 1,5 · 3,75 + 71 · 3 – 16 · 3 · 1,5 = 53кНм
Участок 3 Q3 = 48кН М3 = -Р · х3 х3 = 0 М3 = 0 х3 = 2,4 М3 = -48 · 2,4 = 115,2кНм
Участок 4 0 ≤ х4 ≤ 4,8 Q4 = P – Rв + qx4 = 48 – 126 = -78кН. Х4 = 4,8м. Q4 = 48 – 126 + 16 · 4.8 = 0 M4 = -48 · 7.2 + 120 · 4.8 – 16 · 4.8 · 2.4 = 75кНм
Подбор сечения
Wx = Mmax/[G] = = 0.576 · 10-3м3 = 576 · 10-6м3
Принимаем I №33 W1 = 597 · 10-6 м3
Задача №6
Построим эпюры единичных сил М1 (Р1 – 1); М2 (Р2 = 1); М3 (m = 1)
Единичная эпюра Р1 = 1 ΣМв = 0 -RA · 7.8 + P1 · 4.8 = 0
RA = = 0.615
Единичная эпюра Р2 = 1 ΣМв = 0 -RA · 7.8 + P · 2.4 = 0
RA = = +0.3
ΣМa = 0 -Rв · 7.8 + P · 10,2 = 0
Rв = = 1.3
Единичная эпюра m1 = 1 ΣМa = 0 m –Rв • 7.8 = 0 Rв = 1/7.8 = 0,128
ΣМв = 0 -RA · 7.8 + m = 0 RA = -0.128
Перемещение с помощью интеграла Мора
δ1 = dx Для I №33 Ix = 9840 · 10-8 м3
Е = 2 · 105 Мпа. Для определения применим формулу Симпсона = (
Перемещение δ1 = - = -25,6 · 10-3м
=
δ2 = = 5,6 · 10-3м.
3 2,4 = 52.
φ3 = = 2,64 · 10-3 раб.
Задача №7
Схема 3 а = 0,4м в = 0,5м с = 0,3м D1 = 0.3 D2 = 0.5 N = 17кВт n = 350об/мин Ст 35 Gт = 320Мпа к = 1,5
Определение нагрузок, действующих на вал.
Крутящий момент Мкр = = 0.46кНм.
Р = = 3.06кН
Рверт = 0 Ргор = Р = 3,06кН
t = = 1.84кН
Q = 4t = 4 · 1.84 = 7.36кН
Qгор = 7,36 · cos 60° = 3.68кН
Qверт = 7,36 · 30° = 6,4кН
Построение эпюр.
Горизонтальная плоскость. ΣМс = 0
- Р · 0,9 + Rв · 0,5 + Qr · 0.3 = 0
RВ = = 3,3кН
ΣМВ = 0 -Р · 0,4 – 12с · 0,5 + Qr · 0.8 = 0
Rc = кН
Проверка ΣУ = 0 -Р + RВ + RC – Qr = -3.06 + 3.44 + 3.9 – 3.68 = 0
MA = 0 MB = - P · 0.4 = - 3.06 · 0.4 = -1.22кНа
МР = 0 МС = -Qк · 0,3 = -3,68 · 0,3 = -1,1кН
Вертикальная плоскость ΣМв = 0
- RC· 0,5 + Qв · 0.8 = 0
Rс = = 10,24кН
ΣМс = 0 -Rв · 0,5 + Qв · 0.3 = 0
Rв = кН
Проверка ΣУ = 0 -Р + RВ + RC – Qr = -3.06 + 3.44 + 3.9 – 3.68 = 0
MA = 0 MB = 0 МС = -6.4 · 0,3 = -1,92кН M = 0
Приведенный расчетный момент
Мпр = = 2,4кНм
Допускаемое напряжение [G] = δx/к = 320/1,5 = 213Мпа
Диаметр вала d =
d = = 4.9 · 10-2м.
Задача №8
[δ] = 160Мпа = 160 000кн/м2 Схема 3 з = 9кН l = 0.95м Ст5.
Момент инерции относительно координатных осей
Ix = Iy = = 20.014 ɤ4
Площадь сечения F = = 0.1682
Радиус инерции ix = = 0.298
λmax = = 2.29/8
Принимаем ɤ = 0,02м λ = 2,29/0,02 = 114,5
λ = 110 φ = 0,43
λ = 120 φ = 0,37 λ = 114,5 φ = 0,43 - = 0,403
σ = = 350Мпа > [σ] = 160 Мпа
Принимаем ɤ = 0,04м λ = 2,29/0,04 = 57,5
λ = 50 φ = 0,86
λ = 60 φ = 0,82 λ = 57,5 φ = 0,86 - · 7,5 = 0,85
σ = = 159 < 160Мпа.
Получили ɤ = 0,04м d = 0.04 · 0.6 = 0.024м
Так как для Ст5 Хизд = 92
λ = 57,5 < λизд, то для вычисления критических сил применяем формулу Ясинского Ркр = F (a – вλmax). Для Ст 5 а = 343Мпа в = 1,13Мпа
Ркр = 0,16 · (4 · 10-2)2 · (343 – 1,13 · 57,5) · 106 = 71кН
Коэффициент запаса устойчивости
ny = Pкр/Р = 71/9 = 8
Сечение в масштабе 2:1
Задача №9
D = 0.050м d = 0.0038м Рmax = 190кН Рmin = 70кН τт = 940Мпа τ-1 = 460Мпа τ0 = 800Мпа кr = 1.09 β = 0.85 Er = 0.97.
Определение максимального τmax и минимального τmin напряжений τ = к ,
где к = Сп = ɤ/d = 13.15 к = = 1,1
τmax = = 485Мпа.
τmin = = 178Мпа
Коэффициент асимметрии R = τmin/ τmax = 178/485 = 0.37.
Определение среднего τm и амплитудного τа значений
τm = = 331Мпа.
τа = = = 153Мпа.
Определение координат точек схематизированной диаграммы
ψ = = 0,15
кɤ = = 1,32
Координаты точки В
а = = 667Мпа.
в = = 273Мпа.
Коэффициенты точек:
А (О; r-1/к∆ = 460/1,32 = 348Мпа)
В (а = 667Мпа; l = 237Мпа)
С (rт = 331ИПа; re = 153Мпа)
Масштаб в 1см – 100Мпа.
Коэффициент запаса nR = ON/OM = 63/36 = 1.75
Аналитический расчет nR = = 1,8
Разница в пределах допустимой погрешности.