Векторы
1. Из истории образования векторов
Вектор – это многозначный термин, которым обозначают объекты, характеризуемые величиной, выражаемой числом, и направлением, и обобщения таких объектов. С помощью векторов описываются такие физические величины, как перемещение, скорость, сила и др.; необходимость их математического описания и привела к возникновению понятия вектора. Термин был введен У. Гамильтоном в 1845 г.
Слово vector - латинское и в примерном переводе означает переносчик (переносящий, несущий). Вектор AB как бы переносит начало вектора - точку А в его конец - точку В.
Слово модуль происходит от латинского слова modulus и переводится как мера. Слова модуль, мода, модификация (изменение) - однокоренные слова.
В слове коллинеарный латинская приставка col - имеет значение с-, со-, а латинский корень linea - говорит о прямой линии, т.е. это слово говорит о векторах, идущих вместе с некоторой прямой.
Слово ортогональный в переводе с греческого означает прямоугольный.
В большинстве школьных учебников вектором (обозначение или ) называется направленный отрезок AB, т.е. отрезок, для которого указан порядок его концов: точка, указанная первой (A), называется началом вектора, вторая точка – концом. Иногда говорят не об отрезке, а об упорядоченной паре точек (A, B). Рассматриваются и векторы вида ; такой вектор называется нулевым.
2. Основное содержание
2.1. Понятие вектора
Многие физические величины, например, сила, перемещение материальной точки, скорость. Характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или просто векторами).
Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила в 8Н. на рисунке силу изображают отрезком со стрелкой (рис.1).
А 8Н В
1Н
Рис.1
Стрелка указывает направление силы, а длина стрелки соответствует в выбранном масштабе числовому значению силы. Так, на рис. 1 сила в 1Н изображена отрезком длиной 3,2 см.
Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора.
Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления: от одного конца к другому и наоборот (рис.2). Чтобы выбрать одно из направлений, один коней отрезка назовем началом, а другой – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.
Рис. 2
Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется направленным отрезком или вектором.
На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например . Первая буква означает начало вектора, вторая – конец (рис.3).
В Конец вектора
Вектор
А
Начало вектора
Рис. 3
На рис. 4, а изображены векторы , , : точки A, C, E – начала данных векторов, а B, D, F – их концы. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: , , (рис. 4,б).
А В
D
F E C
· M
Рис. 4, а
Рис.4, б
Следует отметить, что любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор обозначается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить (рис. 4, а). нулевой вектор обозначается также символом . На рисунке 4 векторы , , ненулевые, а вектор нулевой.
Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора (вектора ) обозначается так: . Длина нулевого вектора считается равной нулю: =0.
Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
На рис. 5 векторы , , , , (вектор нулевой) коллинеарны, а векторы и , а также и не коллинеарны.
· M
А F
В
D
С E
Рис. 5
2.2. Равенство векторов
Если два ненулевых вектора и коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы и называются сонаправленными, а во втором противоположно направленными.
Ненулевые векторы и считаются равными (рис.6), если они сонаправлены и равны по длине; равны между собой и все нулевые векторы.
Рис.6
Математически более корректным является определение вектора как класса всех равных между собой направленных отрезков. При этом каждый элемент такого класса – отдельный направленный отрезок – рассматривается как «изображение» вектора. (В некоторых книгах говорят также о свободных и закрепленных векторах.)
Такое определение вектора естественно согласуется, например, с тем обстоятельством, что сумма векторов или произведение вектора на число – это не какой-то конкретный направленный отрезок (закрепленный вектор), а любой из множества равных между собой векторов. В результате мы получаем взаимно – однозначное соответствие между векторами и наборами их координат, а множество векторов вместе с упомянутыми операциями образует векторное пространство.
Итак, = , если 1) = и 2) ↑↑ .
Ясно, что одно лишь первое условие не достаточно для равенства векторов: на рис.7,а длины векторов и равны, но векторы и не равны. Аналогично, и одной сонаправленности двух векторов мало для их равенства: на рис.7,б векторы BAи PQ сонаправлены, но не равны.
Рис. 7,a
A B
Q P
Рис. 7,б
Равенство векторов обладает всеми обычными свойствами равенств. В частности, два вектора, равные третьему вектору, равны друг другу (это свойство назовем первым признаком равенства векторов).
2.3. Откладывание вектора от данной точки
Отложить вектор от данной точки, значит взять вектор, равный данному, с началом в данной точке.
Зададим некоторую точку С и зададим некоторый вектор , например направленным отрезком AB = (рис.8,а). Требуется построить такую точку D, что CD = AB. Чтобы построить эту точку D, во-первых, из точки С проведем луч р, сонаправленный с лучом АВ (рис.8,б). Такой луч р лишь один. Теперь на луче р откладываем отрезок CD = AB (рис.8,в). Точка D построена. Ясно, что такая точка лишь одна.
· D
A B
Рис.8, а
C p
A
B
Рис. 8,б
C p
A B
Рис.8,в
Итак, мы доказали следующее утверждение: от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.
2.4. Сложение и вычитание векторов
Пусть и - два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный (рис. 9). Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор называется суммой векторов и .
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
В
А С
Рис.9
Правило треугольника естественно применяется при последовательных перемещениях тела: сначала перемещение AB, затем BC, а в сумме получаем перемещение AC. А если тело одновременно испытывает два перемещения? Например, человек, идущий по палубе плывущего корабля (рис.10,а) или лодка, пересекающая реку (рис.10,б). В этих примерах перемещение слагается из двух перемещений: корабля и человека, поперек реки и по течению реки.
Каждое из этих слагаемых перемещений (за один и тот же промежуток времени) изобразим вектором, отложенным от точки А: AB = и AD= (рис.11). Рассматриваем лишь случай, когда векторы и не коллинеарны. Тогда суммарное перемещение изобразиться диагональю AC параллелограмма ABCD, построенного на векторах AB = и AD=
Рис.11
Убедимся, что вектор будет суммой векторов и , построенной по правилу треугольника. Действительно, так как ABCD – параллелограмм, то BC=AD. Поэтому BC= . По правилу треугольника
AC=AB + BC, т.е. = + (1).
Мы доказали правило параллелограмма: если векторы не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма.
Свойства сложения векторов. У операции сложения векторов те же свойства, что и у операции сложения чисел.
Свойство 1. Для любых векторов и
+ = + (2)
(переместительный закон или коммутативность сложения).
Доказательство. Возможны два случая.
1) Векторы и не коллинеарны. Тогда отложим их от точки А: AB = и AD= , а затем построим на них параллелограмм ABCD (рис.12). Поскольку + = , + = , = = и = = , то имеет место равенство (2).
Рис.12
2) Векторы и коллинеарны. Тогда векторы AB = и BC= лежат на одной прямой (рис.13). На той же прямой лежат векторы DC1= и AD= . Надо доказать, что точки С и C1 совпадают. Если векторы и сонаправлены, то это следует из сложения отрезков (рис.13,a). А если векторы и направлены противоположно, то из вычитания отрезков (рис.13,б). Подробное доказательство желающие могут завершить самостоятельно.
Рис.13, а Рис.13, б
Свойство 2. Для любых векторов , и
+( + )= ( + ) + (3)
(сочетательный закон или ассоциативность сложения).
Доказательство. Отложим от точки А вектор AB = , а затем вектор BC= и вектор CD= (рис.14). Тогда +( + )= +( + )= = и, с другой стороны,
( + )+ =( + )+ = = , т.е. справедливо (3).
Рис.14
Пользуясь этим законом, можно группировать слагаемые при любом их числе, т.е. заключать в скобки любым образом. Поэтому суммы векторов пишут, никак не объединяя слагаемые скобками: + + , + + + и т.д.
Из сочетательного и переместительного законов следует, что, складывая любое число векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые (так же как и числа). Часто это значительно облегчает сложение при числе слагаемых, большем двух.
Чтобы сложить несколько векторов, например векторы , , и удобно построить векторную ломаную (рис.15). Эта ломаная состоит из направленных отрезков AB= , BC= , CD= и DE= . Вектор , идущий от начала ломаной ABCDЕ в ее конец, и является суммой: = + + + .
Рис.15
Если ломаная получилась замкнутой, то сумма векторов равна нуль-вектору (рис.16).
Рис.16
Отметим еще очевидное свойство нуль-вектора:
Свойство 3. +0= (4).
Вычитание векторов. Противоположные векторы. Как и вычитание чисел, вычитание векторов – это действие, обратное сложению. Поэтому разностью - двух векторов и называется вектор , дающий в сумме с вектором вектор : + = .
Вычитание можно свести к сложению, если ввести понятие противоположного вектора. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они направлены противоположно (рис.17).
Рис.17 Рис.18
Каждый из них называется противоположным другому. Нуль-вектор считается противоположным самому себе.
Вектор, противоположный вектору , обозначается - (читается “минус а”).
Как при сложении противоположных чисел получается нуль, так и при сложении противоположных векторов в сумме получится нуль-вектор.
Теперь мы можем утверждать, что результат вычитания из вектора вектора тот же, что и результат сложения векторов и - .
Доказательство (для неколлинеарных векторов) ясно из рисунка 18.
2.5. Умножение вектора на число
Если в сумме векторов одно и тоже слагаемое повторяется несколько раз, например, + , + + + и т.п., то, как и в алгебре, такие суммы естественно обозначать 2 , 3 и т.д. (рис.19).
Рис.19 Рис.20
Если точка С - середина отрезка АВ, то AC+СВ=AB, AC=СВ , а потому AB=2AC и AC=12AB (рис.20).
Уже эти простейшие примеры подсказывают, что удобно ввести операцию умножения вектора на число, и подсказывают, как дать соответствующее определение.
О п р е д е л е н и е. Произведением ненулевого вектора на отличное от нуля число х называется такое вектор для которого выполняются два условия: 1) его длина равна произведению длины вектора на модуль числа х, т.е. выполняется равенство
= ; (5)
2) он сонаправлен с вектором , если х>0 (рис.21,а), и он направлен противоположно вектору , если х<0 (рис.21,б).
Рис.21,а Рис.21,б
Если же 0= или х=0, то вектор - нулевой
(что согласуется с равенством (5) ).
Из данного определения непосредственно вытекают такие свойства операции умножения вектора на число:
1. 1 = , для любого вектора .
2. (-1) =- для любого вектора .
3. Если х =0, то либо х=0 , либо = .
4. Если х =у и ≠ , то х=у.
5. Если х =х и х≠0, то = . аb аb
6. х(у )=(ху) для любого вектора и любых чисел х и у .
Доказывая эти векторные равенства, каждый раз следует проверять равенство модулей и сонаправленность векторов.
Операция умножения векторов дает возможность сформулировать и доказать простой, но важный признак коллинеарности векторов.
Теорема (характерное свойство коллинеарности). Вектор коллинеарен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда =x .
С л е д с т в и е (о векторах на прямой). Два вектора, отложенный из одной и той же точки, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число.
Распределительные законы умножения векторов на число. Операции сложения векторов и умножения вектора на число связаны двумя распределительными законами.
Первый закон. Для любых чисел х и у и любого вектора а выполняется равенство
(х+у) =х +у . (6)
В равенстве (6) стоят лишь векторы, лежащие на одной прямой. Поэтому доказательство равенства (6) сводится к сложению или вычитанию отрезков в зависимости от знаков чисел х и у.
Второй закон. Для любого числа х и любых векторов и выполняется равенство
х( + )= x +x . (7)
2.6. Скалярное произведение векторов
Изучим еще одну операцию с векторами. Эта операция возникает, в частности, при решении такой важной физической задачи, как задача о механической работе А, совершаемой силой f при перемещении s некоторого тела (рис.22).
Рис.22
Известно, что работа А вычисляется по формуле
А= cosϕ, (8)
где ϕ - угол между векторами и . Число cosϕ называется скалярным произведением этих векторов.
Итак, скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их модулей и косинуса угла между ними (рис.23).
Рис.23
Скалярное произведение векторов и обычно обозначают · . Таким образом, по определению
· = cosϕ, (9)
где ϕ=∠ .
Если хотя бы один из векторов , - нулевой, то полагают · =0.
Отметим два важных частных случая.
1) = . Если вектор - ненулевой, то угол ϕ=00, cosϕ=1 и из (8) следует, что · = . Произведение · обозначается и называется скалярным квадратом вектора . Итак, · = .
2) Для ненулевых векторов их скалярное произведение · =0 тогда и только тогда, когда векторы и - взаимно перпендикулярны. Действительно, из равенства (9) следует, что · =0 тогда и только тогда, когда cosϕ=0, т.е. тогда и только тогда, когда ϕ=900.
Операция скалярного умножения векторов позволят находить длины векторов по формуле
= (10)
и угол между векторами, выражая cosϕ из равенства (9).
2.7. Метод координат
Координаты в геометрию ввели в середине ХУП века французские математики Рене Декарт (1596-1650) и Пьер Ферма (1601-1665). Ими был создан новый раздел геометрии – аналитическая геометрия, в которой геометрические фигуры на координатной плоскости или в пространстве, где введены координаты, задаются алгебраическими уравнениями и геометрические задачи решаются алгебраическими методами. В честь Р.Декарта прямоугольные системы координат называют также декартовыми координатами.
А) разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
Обратимся к векторам, лежащим на координатной плоскости хОу. Единичный вектор оси х обозначим через , а координатный вектор оси у обозначим через . Возьмем произвольный вектор и отложим его от начала координат: = . Рассмотрим случай, когда вектор не коллинеарен координатным векторам (рис.24).
Рис.24
В этом случае точка А не лежит на координатных осях. Опустим из точки А перпендикуляры АА1 на ось х и АА2 на ось у. Получим прямоугольник ОА1 АА2. По правилу параллелограмма
= + (11)
Мы разложили вектор по координатным осям:
= + (12)
Векторы и называются составляющими вектора по осям Ох и Оу соответственно.
Б) координаты вектора.
Каждая из составляющих вектора имеет свою координату на соответствующей оси. Эти координаты обозначаем аxи аy. Поскольку = аx и = аy , то, подставляя эти равенства в формулу (12), получаем представление вектора :
= аx + аy (13)
Число аx– это координата точки А1 на оси х. Аналогично, число аy- координата точки А2 на оси у. Следовательно, пара чисел (аx, аy) – это координаты точки А.
Ясно, что если вектор коллинеарен вектору , то точка А лежит на оси х, = аx и аy=0. Аналогично, если вектор коллинеарен вектору , то аx=0 и = аy . Равенство (13) установлено для всех случаев. Полученная пара чисел (аx, аy) называется координатами вектора в заданной системе координат. Она же является координатами точки А – конца вектора = .
Последнее утверждение позволяет по каждой упорядоченной паре чисел (аx, аy) построить вектор , координатами которого в заданной системе прямоугольных координат хОу будут числа аx , аy. Для этого достаточно в этой системе координат построить точку А с координатами аx , аyи взять вектор . Его координатами и будут числа аx , аy.
В заданной системе координаты вектора определяются единственным образом.
2.8. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с единичными векторами и координатных осей х и у. Тогда любой вектор плоскости хОу может быть представлен в виде = аx + аy ,
и притом единственным образом. Если вектор отложен от начала координат, то его координаты равны соответственно координатам его конца.
Еще раз вернемся к рисунку 24. Из теоремы Пифагора следует, что ОА2=ОА12+ОА22. Поскольку ОА= , ОА1=lа xl и ОА2=lа yl, то
=аx2+аy2, (14)
т.е. квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его координат.
Как найти координатное разложение вектора = , если известны координаты начала и конца этого вектора: А(хA, уA) и В(хB, уB) (рис.25)?
Рис.25
По определению координаты вектора равны коэффициентам при векторах и в равенстве (13). Так как
= - = хB + уB - ( хA + xA ) = (хB– хA) +( уB– уA) ,
то координата составляющей на оси х - число аx= хB-хA. , а координата составляющей на оси у - число аy= уB- уA..
Итак, чтобы найти координаты вектора нужно от координат конца вектора отнять координаты начала вектора: аx= хB-хA , аy= уB-уA. (15)
2.9. Простейшие задачи в координатах
a) Координаты вектора на координатной плоскости получаются в результате проектирования его начала и конца на оси координат. Поэтому координаты вектора называют также его проекциями. Термин «проекция» употребляется и тогда, когда проектирование начала и конца вектора происходит только на одну ось (рис.26), причем необязательно в системе координат, - так обычно поступают в физике.
Рис.26
б) Вычисление длины вектора по его координатам.
Длина вектора (x, y) вычисляется по формуле:
=
в) Равенства (14) и (15) дают еще одну формулу для вычисления квадрата модуля вектора АВ, координаты начала и конца которого известны:
= (хB-хA)2 + (уB-уA)2 . (16)
Так как модуль вектора - это расстояние между точками А и В, то формула (16) является также формулой для квадрата расстояния между двумя точками А(хA, уA) и В(хB,,уB) и может быть записана так:
АВ2 = (хB-хA)2 + (уB-уA)2 . (17)
Данная формула может быть представлена в виде
d= . (18)
3. Применение векторов к решению задач
Задача 1. Доказать, что четырехугольник АВСD – параллелограмм, если заданы координаты его вершин: А(2;3), В(4;4), С(8;4), D(6;1). [1]
Решение. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы и . Вычислим их координаты , . Координаты векторов одинаковы, поэтому . Из равенства векторов следует, что и , т.е. у четырехугольника ABCD две противолежащие стороны равны и параллельны, следовательно, он – параллелограмм.
Задача 2. Даны три точки: А(1;1), В(-1;0), С(0;1). Найдите такую точку D(x;у), чтобы векторы и были равны.
Решение. Вектор имеет координаты –2, -1. Вектор имеет координаты х-0, у-1. Так как = , то х-0=-2, у-1=-1. Отсюда находим координаты точки D: х=-2, у=0.
Задача 3. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(1;1), В(3;4), С(8;5). Найти координаты четвертой вершины D и точку пересечения диагоналей.
Решение. Точка пересечения диагоналей – середина каждой из диагоналей. Поэтому она является серединой отрезка АС и имеет координаты:
;
.
Так как точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, можно найти координаты четвертой вершины D:
; .
Отсюда х=6, у=2, т.е. D(6;2).
Рисунок 8 |
В |
А |
F |
. |
О |
a |
Задача 4. С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз (см. рисунок 8).
Решение. Пусть О – центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе . Поэтому .
Задача 5. Даны векторы , . Найти координаты вектора .
Решение. Координаты векторов будут равны и . Разность векторов и имеет координаты, равные разности координат векторов и , т.е. .
Задача 6. Вычислить косинусы углов А и В треугольника АВС, вершины которого имеют следующие координаты: А(1;6), В(1;1), С(4;1).
Решение. Согласно определению скалярного произведения векторов и , , найдем .
Вычислим координаты векторов и : , , ; .
Затем вычислим координаты векторов и : (0;5), (3;0), . Следовательно, ^ , и .
Заключение
В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата.
Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания. Математика развивает личность учащегося. Изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.
Кроме всего вышесказанного, математика обеспечивает изучение других школьных дисциплин, таких как физика, химия и др. На уроках математики учащиеся получают не только вычислительные навыки для решения прикладных задач, но и узнают такие необходимые для решения, например, физических задач понятия, как: вектор и действия над векторами, аффинная система координат, начинают решать задачи с использованием координатного метода и т.п.
В процессе выполнения работы было сделано следующее: рассмотрено понятие вектора на плоскости, показаны действия над векторами, разобраны методы решение геометрических задач с использованием основных векторных соотношений. В процессе выполнения работы рассмотрены и изучены: печатные учебные пособия для учащихся, используемые в настоящее время в общеобразовательных средних школах; различные учебные пособия по данной теме; электронные учебные пособия и проекты в сети интернет.